Bloch André

En 1912, André Bloch entre à l'École polytechnique avec son frère Georges, après une préparation dans la classe de Georges Valiron. La guerre interrompt leurs études. Blessé, puis déclaré irresponsable après le triple meurtre de 1917, Bloch est interné dans un hôpital psychiatrique jusqu'à sa mort en 1948.

Cet enfermement n'arrête pas son activité mathématique. Autodidacte et correspondant de chercheurs de son temps, il travaille notamment sur les fonctions complexes. Son nom reste attaché à un théorème qui garantit une zone où une telle fonction se comporte sans replier ses valeurs.

André Bloch est un mathématicien français né à Besançon en 1893 et mort en 1948. Entré à l'École polytechnique en 1912 avec son frère Georges, il est mobilisé avant la fin de ses études et blessé pendant la Première Guerre mondiale. En 1917, durant sa convalescence, il tue son frère, son oncle et sa tante. Déclaré irresponsable, il demeure interné dans un hôpital psychiatrique jusqu'à sa mort, causée par une leucémie.

Bloch poursuit pourtant des recherches en autodidacte et échange par correspondance avec de nombreux mathématiciens. Il publie sur les équations algébriques, la théorie des nombres et la géométrie. Pendant la Seconde Guerre mondiale, il emploie notamment des pseudonymes et échappe aux persécutions nazies malgré son appartenance à la communauté juive.

Son résultat le plus directement associé à l'analyse complexe est le théorème de Bloch. Il concerne une fonction f holomorphe, c'est-à-dire dérivable au sens complexe, dont la dérivée à l'origine est normalisée par $f^{\mathrm{\prime }}(0)=1f\text{'}(0)=1$. Le théorème garantit, dans l'image de cette fonction, un disque sur lequel les valeurs ont un antécédent unique par la branche considérée. Le rayon de ce disque possède une minoration indépendante de la fonction choisie. Cette borne universelle est appelée constante de Bloch. Le résultat affirme donc l'existence d'une zone univalente de taille minimale ; il n'affirme pas que la fonction entière est injective.

Considérons un cas où la zone univalente se voit immédiatement. La variable z désigne un nombre complexe. Les données sont le disque unité défini par et la fonction identité f définie par $f(z)=zf(z)=z$.

Étape 1. La fonction f est holomorphe sur le disque unité. Sa dérivée vaut 1 en chaque point ; elle satisfait donc la normalisation $f^{\mathrm{\prime }}(0)=1f\text{'}(0)=1$.

Étape 2. Deux nombres complexes distincts z₁ et z₂ conservent des images distinctes, puisque $f(z_1)=z_{1}f(z\_1)=z\_1$ et $f(z_2)=z_{2}f(z\_2)=z\_2$. La fonction est univalente sur tout le disque.

Étape 3. L'image est exactement le disque unité, qui a pour centre 0 et pour rayon 1. Le schéma matérialise cette correspondance sans déformation.

Le contrôle consiste à choisir le nombre complexe z égal à 1/2 : son image vaut encore 1/2 et possède un unique antécédent. Cet exemple illustre la conclusion du théorème, mais ne calcule pas la constante universelle, qui doit convenir à toutes les fonctions admissibles.

Pour suivre le parcours d'André Bloch, une chronologie relie chaque date à un fait précis : entrée à l'École polytechnique en 1912, triple meurtre et internement à partir de 1917, puis mort en 1948. Lorsque la date d'une publication n'est pas établie par la source, il vaut mieux ne pas la déduire.

Pour lire son théorème, on vérifie d'abord que la fonction est holomorphe et que sa dérivée est normalisée. Si la dérivée à l'origine est non nulle mais différente de 1, une remise à l'échelle précède la comparaison des rayons. Si elle est nulle, cette version normalisée ne s'applique pas.

Pour interpréter la conclusion, on cherche un disque univalent dans l'image, et non l'injectivité sur tout le domaine. Lorsque la question porte seulement sur la dérivabilité complexe, la notion de fonction holomorphe suffit ; l'univalence ajoute l'absence de valeurs répétées sur la zone retenue.

Le théorème de Bloch et la constante de Bloch. Le théorème est un énoncé d'existence : il garantit un disque univalent. La constante est la borne universelle qui minore le rayon garanti. Dans une phrase qui demande « quelle taille au moins ? », il est question de la constante, pas du théorème entier.

Holomorphe et univalente. Une fonction holomorphe est dérivable au sens complexe ; une fonction univalente ne prend pas deux fois la même valeur sur la zone étudiée. Le théorème part de l'holomorphie et garantit une zone univalente, sans rendre ces deux propriétés synonymes.

Dérivée non normalisée. La conclusion donnée ici suppose que la dérivée à l'origine vaut 1. Si elle est non nulle mais différente de 1, il faut normaliser l'échelle avant de comparer les rayons. Si elle vaut 0, cette forme du théorème ne s'applique pas.

Injectivité globale supposée. L'existence d'un disque univalent dans l'image ne signifie pas que la fonction est injective partout. Si deux points éloignés ont la même image, cela ne contredit pas le théorème ; il faut localiser une branche et le disque sur lequel l'univalence est assurée.

Borne confondue avec le rayon observé. Dans l'exemple identité, le disque visible a un rayon exactement égal à 1. Ce cas particulier ne fixe pas la constante de Bloch : la constante doit fournir une minoration commune à toutes les fonctions holomorphes de dérivée normalisée.

L'article Aux origines de l’analyse complexe replace ce domaine dans son histoire et éclaire le cadre scientifique du théorème de Bloch.

La fiche fonction holomorphe précise la propriété de dérivabilité complexe exigée au départ du théorème.

La fiche analyse complexe présente le domaine auquel appartiennent les fonctions d'une variable complexe étudiées par Bloch.