Grenouille (lemme de)

Imaginez une grenouille qui saute sur le segment de 0 à 2 : chaque nouvelle position dépend de la précédente. Si ses sauts deviennent de plus en plus courts, elle pourrait encore sembler hésiter. Le lemme affirme qu’avec une règle continue qui la maintient dans ce segment, cette hésitation ne dure pas : ses positions finissent par se rapprocher d’une même valeur.

Réciproquement, lorsqu’une suite de positions converge, l’écart entre deux positions consécutives tend forcément vers zéro. Le résultat transforme ainsi un problème de convergence en un contrôle des sauts successifs.

Le lemme de la grenouille est un critère de convergence pour une suite récurrente obtenue en répétant une même fonction. On considère un segment fermé borné [a, b], une fonction continue f qui envoie chaque point de [a, b] dans [a, b], puis une valeur initiale u₀ appartenant à ce segment. La suite est définie par la relation suivante : $u_{n+1}=f(u_n)u\_\{n+1\}=f(u\_n)$.

Une limite éventuelle n’est pas quelconque : si la suite converge vers une valeur ℓ, la continuité donne f(ℓ) = ℓ. Toute limite obtenue est donc un point fixe de f. Cette conséquence concerne l’orbite issue de la valeur initiale choisie ; elle ne signifie pas que toute itération d’une fonction continue converge, ni qu’un point fixe est unique.

Soit f une fonction continue d’un segment fermé borné [a, b] dans lui-même. Pour une valeur u₀ de [a, b], on définit la suite (u_n) par $u_{n+1}=f(u_n)u\_\{n+1\}=f(u\_n)$. Alors :

Autrement dit, sous ces hypothèses, la convergence équivaut au fait que les sauts successifs deviennent arbitrairement petits.

Le critère s’applique lorsque trois points sont vérifiés. Les termes restent dans un même segment fermé borné [a, b]. La règle f est continue sur ce segment. Enfin, chaque terme est exactement l’image du précédent par cette même règle : $u_{n+1}=f(u_n)u\_\{n+1\}=f(u\_n)$. On peut alors étudier la convergence en examinant u_n+1 − u_n.

Sans récurrence autonome, de petits écarts ne suffisent pas. La suite des sommes partielles 1 + 1/2 + ⋯ + 1/n vérifie que l’écart entre deux termes consécutifs vaut 1/(n + 1) et tend vers zéro, mais elle ne converge pas. Dans ce contre-cas, il faut employer un autre critère, par exemple étudier directement les sommes partielles.

Sur le segment [0, 2], on choisit la fonction f définie par $f(x)=\frac{x+2}{2}f(x)=\backslash frac\{x+2\}\{2\}$ et la valeur initiale u₀ = 0. La fonction est continue et ses valeurs appartiennent à [1, 2], donc à [0, 2].

1. La récurrence donne u₁ = 1, puis u₂ = 3/2 et u₃ = 7/4.
2. En soustrayant 2 à la relation de récurrence, on obtient u_n+1 − 2 = (u_n − 2)/2.
3. À partir de u₀ − 2 = −2, on en déduit $u_n=2-2^{1-n}u\_n=2-2^\{1-n\}$.
4. Ainsi, $u_{n+1}-u_n=2^{-n}u\_\{n+1\}-u\_n=2^\{-n\}$, quantité qui tend vers zéro.

Le lemme garantit donc que la suite converge. La formule explicite confirme que sa limite est 2, et le contrôle f(2) = 2 vérifie que cette limite est bien un point fixe. Le diagramme d’itération rend visibles les sauts 0, 1, 1/2, 1/4 et 1/8 qui se resserrent vers 2.

Pour une suite donnée par u_n+1 = f(u_n), on commence par trouver un segment stable : dès que u_n y appartient, f(u_n) y appartient aussi. Ce contrôle garantit que l’orbite ne s’échappe pas.

On établit ensuite la continuité de f sur ce segment, puis on étudie l’écart u_n+1 − u_n. Si cet écart tend vers zéro, le lemme donne la convergence sans qu’il soit nécessaire de prouver séparément que la suite est monotone.

Si f est contractante, une estimation de contraction donne souvent davantage : elle établit directement la convergence et sa vitesse. Le lemme de la grenouille reste utile lorsque seule la petitesse asymptotique des sauts est accessible.

Avec le théorème du point fixe. Un théorème de point fixe affirme, sous ses propres hypothèses, l’existence ou l’unicité d’une valeur ℓ telle que f(ℓ) = ℓ. Le lemme de la grenouille porte sur la convergence d’une orbite particulière. Une fonction peut avoir plusieurs points fixes sans que l’énoncé choisisse à lui seul celui atteint.

Avec le lemme de Nakayama. Celui-ci concerne des modules de type fini sur un anneau local et conclut notamment que M = 0 lorsque M = mM. Malgré l’appellation rapprochée dans certaines sources, ce résultat algébrique n’est pas le critère de convergence des suites récurrentes présenté ici.

Des sauts petits ne suffisent pas isolément. La suite harmonique des sommes partielles a des écarts qui tendent vers zéro tout en divergeant. Le symptôme est l’absence d’une itération continue confinée dans un segment compact ; il faut alors changer de critère.

Une oscillation de période 2 échoue au test. Pour f(x) = 1 − x sur [0, 1] et u₀ = 0, la suite alterne entre 0 et 1. Les écarts valent successivement 1 et −1 : ils ne tendent pas vers zéro, donc le lemme ne conclut pas à tort à une convergence.

Le confinement est essentiel. Si les termes ne restent pas dans un segment fermé borné, la compacité utilisée par le résultat disparaît. Avant d’appliquer le critère, il faut donc établir un intervalle invariant ou recourir à une estimation adaptée au domaine non borné.

La fiche Valeur d'adhérence précise les limites possibles de sous-suites, un outil central derrière le passage des petits sauts à une limite unique.

La fiche fonction continue approfondit l’hypothèse qui autorise le passage de u_n+1 = f(u_n) à f(ℓ) = ℓ lorsque la suite converge vers ℓ.