Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Score Z
Le score Z (ou cote Z) est une mesure standardisée indiquant combien d'écarts-types sépare une valeur observée de la moyenne d'une distribution. Il est calculé par la formule z = (x - mu) / sigma, où x est la valeur, mu la moyenne et sigma l'écart-type. Le score Z permet de comparer les positions relatives de valeurs provenant de distributions de paramètres différents, à condition que les grandeurs et les populations soient comparables, et de calculer des probabilités à partir de la table de la loi normale standard. Un score Z de 0 correspond à la moyenne, un score de 1 à un écart-type au-dessus.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le signe et la valeur d'un score Z à la position d'une observation.
- Calculer z = (x − μ) / σ sur un exemple contrôlable.
- Distinguer score Z, écart-type, rang centile et mise à l'échelle min-max.
- Savoir quand une table de loi normale peut convertir le score en probabilité.
En clair
Une note de 76 paraît bonne, mais son sens dépend du groupe. Si la moyenne est 68 et que l'écart-type vaut 4, la note se trouve 8 points au-dessus de la moyenne, soit deux écarts-types. Son score Z vaut donc 2.
Le score Z remplace ainsi l'unité d'origine par une distance commune : le nombre d'écarts-types qui sépare la valeur de la moyenne. Un signe positif situe la valeur au-dessus de la moyenne, un signe négatif au-dessous, et zéro exactement sur la moyenne.
Définition
Le score Z, aussi appelé cote Z, est une mesure standardisée de la position d'une observation dans une distribution. La valeur observée est notée x, la moyenne de la distribution est notée par la lettre grecque μ et son écart-type par la lettre grecque σ. Lorsque σ est strictement positif, le score est défini par :
La soustraction mesure l'écart à la moyenne ; la division exprime cet écart en unités d'écart-type. Le résultat n'a donc plus l'unité de x. Un score Z nul correspond à la moyenne, et un score égal à 1 situe l'observation un écart-type au-dessus. Cette standardisation rend comparables des valeurs issues de distributions dont les moyennes et les écarts-types diffèrent. Si la distribution est modélisée par une loi normale, une table cumulative de la loi normale standard donne par exemple la probabilité P(Z ≤ z).
Un exemple, pas à pas
Une élève obtient 76 points à une épreuve. Dans son groupe, la moyenne est de 68 points et l'écart-type de 4 points. Les trois données sont donc la valeur observée x = 76, la moyenne μ = 68 et l'écart-type σ = 4.
1. L'écart à la moyenne vaut 76 − 68 = 8 points.
2. On rapporte cet écart à l'écart-type : .
3. Le résultat z = 2 signifie que la note est située deux écarts-types au-dessus de la moyenne. Le contrôle se fait en sens inverse : 68 + 2 × 4 = 76 points, ce qui redonne la note observée.
Sur un axe gradué par écarts-types, les positions 68, 72 et 76 rendent visibles les deux pas de 4 points entre la moyenne et la note.
En pratique
Pour comparer les positions relatives de résultats obtenus sur des échelles différentes, on calcule le score Z de chaque valeur dans sa propre distribution, à condition que les grandeurs comparées soient de même nature et que les distributions de référence soient pertinentes. Une comparaison directe des valeurs brutes suffit seulement lorsqu'elles partagent déjà la même échelle et le même repère.
Pour repérer une valeur éloignée du centre, on regarde l'amplitude de son score Z. Un seuil brut reste préférable lorsqu'une règle du domaine fixe déjà une limite absolue ; sinon, le score Z décrit l'éloignement relatif à la dispersion observée.
Pour calculer une probabilité avec une table de loi normale standard, on cherche le score Z obtenu dans la table. Cette lecture convient lorsque le modèle normal est retenu ; sans cette hypothèse, le score situe encore la valeur, mais la table normale n'est pas le bon outil.
À ne pas confondre
Score Z et écart-type. L'écart-type décrit la dispersion d'une distribution entière ; le score Z situe une observation particulière dans cette dispersion. Dans l'exemple, 4 points est l'écart-type, tandis que 2 est le score Z de la note 76.
Score Z et rang centile. Le score Z mesure une distance signée à la moyenne en écarts-types ; un rang centile indique la proportion d'observations placées au-dessous d'une valeur. Deux distributions de formes différentes peuvent donc donner des rangs différents pour un même score Z.
Standardisation Z et mise à l'échelle entre un minimum et un maximum. La première utilise la moyenne et l'écart-type ; la seconde utilise les deux valeurs extrêmes. Le critère est immédiat : si le calcul dépend des extrêmes plutôt que de μ et σ, il ne s'agit pas d'un score Z.
Limites et pièges
Écart-type nul. Si σ = 0, toutes les valeurs sont identiques et la formule divise par zéro : le score Z n'est pas défini. Il faut alors décrire directement cette absence de dispersion.
Valeurs très éloignées. Une observation extrême peut déplacer la moyenne et modifier l'écart-type, donc changer les scores de tout le groupe. Le symptôme est un résultat qui varie fortement après l'ajout ou le retrait d'une seule valeur ; une mesure robuste du centre et de la dispersion doit alors être envisagée.
Score et modèle normal. Un score Z peut être calculé dès que l'écart-type est positif, même si la distribution n'est pas normale. En revanche, convertir ce score en probabilité avec la table normale exige que le modèle normal soit pertinent.
Seuil d'alerte. Dans l'exemple, z = 2 signifie exactement deux écarts-types au-dessus de la moyenne, mais ce nombre ne suffit pas à déclarer la note anormale. Le seuil pertinent dépend du contexte et de l'usage prévu.
Pour aller plus loin
écart-type — Précise comment se construit l'unité de dispersion employée au dénominateur du score Z.
L'omniprésente loi normale — Approfondit le modèle qui permet de relier un score Z à une probabilité tabulée.
Statistiques et probabilités revisitées — Replace moyenne, dispersion et probabilités dans une vue d'ensemble des outils statistiques.
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