Conocimientos
Artículos de fondo sobre conocimientos y teorías matemáticas
Mi primera ecuación diferencial | Tangente
¿Te dan miedo las ecuaciones diferenciales? Es cierto, hay motivos para ello. Sin embargo, podemos abordarlas con mucha facilidad si imponemos algunas restricciones; la linealidad es una de ellas. Y cuando los coeficientes que intervienen son constantes, quedan al alcance de todos, sobre todo cuando el segundo miembro es nulo.
Ecuaciones diferenciales / Conocer el espacio de soluciones sin calcularlas
Mezclar las herramientas, métodos y técnicas de la geometría, el álgebra y el análisis puede conducir a resultados especialmente fructíferos y espectaculares. Así, a veces es posible obtener información sobre el espacio de soluciones de una ecuación diferencial sin tener que calcular dichas soluciones.
Más allá de la convexidad | Tangente
La idea intuitiva de la noción de convexidad parece de las más naturales. Sin embargo, es inevitable preguntarse si, modificando ligeramente la definición formal, no llegaríamos a otras ideas interesantes… En este terreno también, la convexidad es fértil!
Funciones útiles en análisis
Con una gráfica «orientada hacia el cielo», las funciones convexas invitan al optimismo. Más en serio, introducidas para demostrar bellas desigualdades, han mostrado su importancia mucho más allá de las matemáticas. Pero, precisamente, ¿cuáles son las propiedades de las funciones convexas?
Formas sorprendentes en el espacio
Como en el plano, en el espacio pueden definirse muchas bolas asociadas a normas. Encontraremos poliedros, algunos regulares y otros más sorprendentes. ¡Así podremos confeccionar una bonita colección festiva de bolas a juego con vuestro próximo árbol de Navidad!
Bolas en el plano
Una bola esférica es el conjunto de puntos cuya distancia a un centro es menor que una constante. Los matemáticos, siempre en busca de generalizaciones, aceptan esta definición de bola… en cualquier espacio provisto de una «distancia» cualquiera.
La geometría convexa
La geometría convexa se sitúa en la frontera entre la optimización, el análisis, la topología, la combinatoria y, por supuesto, la geometría. Las interpretaciones gráficas o visuales que permite constituyen una potente herramienta para la intuición. Sin embargo, aún quedan abiertas cuestiones fundamentales.
Distancias sorprendentes: Manhattan y Tchebychev | Tangente
La distancia euclidiana en el plano es la que todo el mundo conoce: expresa que el camino más corto entre dos puntos se obtiene en línea recta. Pero existen muchas otras, a menudo atípicas. Algunas son incluso muy sorprendentes…
Tan lejos, tan cerca…
¿Qué distancia hay entre París y Roma? Ante esta pregunta, es legítimo preguntarse si se sobreentiende «en línea recta», «en tren», «en coche» o «en sentido euclidiano». Con las distancias ultramétricas descubrimos incluso un universo en el que todos los triángulos son isósceles.
Puntos sobre la esfera: problema de los dictadores | Tangente
¿Cómo repartir «lo mejor posible» puntos sobre una esfera? La idea es que los puntos estén «lo más alejados posible unos de otros». Si consideramos dos, tres o cuatro puntos, podríamos pensar que bastan los vértices de un poliedro regular inscrito en la esfera. Y, sin embargo…
El problema de Berlekamp: juego de estrategia | Tangente
La noción de distancia puede tener aplicaciones en ámbitos a veces inesperados. Un ejemplo lúdico es la resolución del problema de Berlekamp, en la que aparece la distancia de Hamming y resulta especialmente eficaz.
El problema de evolución en relatividad general
Las ecuaciones de la relatividad general de Einstein han vuelto a estar muy de moda en los últimos años. Se han logrado avances sobre la estabilidad del espacio de Minkowski y sobre la siempre esquiva conjetura de censura cósmica, formulada por el premio Nobel de Física de 2020 Roger Penrose...
¿Un sueño de arquitecto?
Es bien sabido que el número de oro aparece por todas partes en el arte... siempre que uno esté dispuesto a buscarlo y a hacer caso omiso (!) de algunas aproximaciones o unidades de medida anacrónicas. Intentemos recuperar los escritos que lo vincularon con la arquitectura y lo dieron a conocer al público.
Propiedades matemáticas notables
A priori, el número áureo, que lleva un nombre mítico, no tiene nada de excepcional desde el punto de vista matemático: no es más que la solución positiva de una ecuación polinómica de segundo grado. ¿Mucho ruido y pocas nueces? Intentemos, sin embargo, descubrir qué sorpresas nos reserva.
El diagrama de Cayley
¿Cómo captar la estructura de un grupo finito de un solo vistazo? ¡El diagrama de Cayley permite responder a esta pregunta!
El programa de Erlangen
Con motivo de su nombramiento como profesor en la Universidad de Erlangen, en 1872, Felix Klein, con apenas 23 años, presentó un programa de investigación geométrica conocido desde entonces como «Programa de Erlangen». En el centro de este programa se encuentra la noción de grupo.
El grupo de Klein y sus avatares
Cuando empezamos a manejar grupos, elaboramos pacientemente la tabla de los que tienen pocos elementos. El grupo de un elemento se reduce al elemento neutro, por lo que es único. Del mismo modo, los de dos y tres elementos quedan determinados sin ambigüedad. Las sorpresas comienzan con cuatro elementos...
Los grupos, una cuestión de relaciones
La noción de grupo, surgida a comienzos del siglo XIX para resolver ecuaciones polinómicas, se extendió muy pronto a otros ámbitos, incluso fuera de las matemáticas: permite centrarse en las relaciones entre los objetos en lugar de en los propios objetos.
Transformaciones geométricas en grupos
¿La noción de grupo es abstracta y puramente algebraica? ¡En absoluto! En geometría permite no dejarse abrumar por la profusión y la aparente diversidad de las transformaciones, así como comprender los distintos tipos de simetría que pueden encontrarse.
Las primeras formalizaciones
La trágica muerte de Évariste Galois confirió un carácter épico a la introducción del concepto de grupo en matemáticas. Menos conocida, la continuación no deja de ser apasionante, con brillantes teoremas como recompensa, que aún hoy se enseñan. Sesenta años después, la noción de grupo quedó por fin establecida.