Saperi
Articoli di approfondimento sulle conoscenze e teorie matematiche
La geometria proiettiva dietro Dobble | Tangente
Quando si gioca a Dobble non lo si immagina: la combinatoria, la geometria proiettiva e l’aritmetica modulare possono offrire un nuovo approccio alla costruzione delle diverse varianti di questo gioco.
Grafi e gioco di Grundy: strategia vincente | Tangente
I grafi sono decisivi nelle strategie dei giochi a informazione completa, quando le situazioni non sono troppo numerose e possono essere rappresentate. Patrick Grundy ideò un gioco per teorizzare queste strategie.
Una strategia per muovere la regina
Due giocatori muovono a turno una regina su una scacchiera. Questo gioco apparentemente innocuo permette di scoprire e illustrare un importante risultato della teoria dei giochi: il teorema di Sprague–Grundy. Ci riserva anche un’altra sorpresa matematica…
Benvenuti nella geometria regoluta
L’algebra e la geometria sono strettamente legate. Stabilire una sorta di dizionario fra i due ambiti permette di risolvere con eleganza questioni che, senza questi chiarimenti complementari, resterebbero assai ardue. Ci si può persino divertire a costruire nuove geometrie…
Vettori polari e vettori assiali
In fisica, forze e velocità sono abitualmente rappresentate da vettori, enti matematici che racchiudono informazioni di modulo e direzione. Tuttavia, il loro comportamento al variare del sistema di riferimento porta a distinguere, a seconda dell’orientazione dello spazio, due tipi di vettori: polari e assiali.
La matematica, consigliera d’orientamento
Ogni giorno ci troviamo di fronte a rotture di simmetria che ci permettono di distinguere l’alto dal basso, la destra dalla sinistra. Analogamente, l’orientamento degli oggetti dei nostri spazi matematici, quando esiste, non sfugge all’arbitrarietà di una definizione.
Una bella congettura di Paul Erdős…
Lo studio della convergenza di alcune serie è un classico dell’analisi (vedi Successioni e serie, Bibliothèque Tangente 41, 2011). Si può per esempio dimostrare abbastanza facilmente che la serie armonica, ossia la somma degli inversi dei numeri naturali non nulli, diverge.
Un genio fuori dagli schemi
In campo scientifico, Bertrand Russell è anzitutto un logico e un filosofo. Il suo contributo non si può comprendere senza cogliere la svolta importante che stava prendendo la costruzione matematica: è l’epoca della «crisi dei fondamenti».
Dall’intuizione al rigore
Una retta, già per Euclide, divideva il piano in due regioni distinte, ma non si ammettevano lunghezze negative. Come associare in geometria le nozioni algebriche di «verso di percorrenza» e di misura?
Oltre la memoria di Lagrange
Galois lesse Legendre e Lagrange da adolescente, poi Gauss e Cauchy. Cita spesso questi ultimi due, ma molto poco Lagrange. Galois fu chiaramente influenzato dalle idee del matematico più anziano; seppe tuttavia spingersi molto oltre, avvalendosi di tutti i progressi compiuti a partire dal 1771.
Due geni e due approcci
Sono noti due metodi per dimostrare l’impossibilità di risolvere l’equazione algebrica generale di quinto grado: quello proposto da Abel nel 1824, precisato nel 1826, e quello di Galois nel 1829–1830. La teoria di Galois è abbastanza nota, mentre le idee di Abel sono illustrate più di rado.
Il concorso d’ammissione all’École préparatoire…
Il giovane studente Galois è noto per essere stato respinto due volte al concorso d’ammissione all’École polytechnique. Tuttavia, non fu l’unico concorso a cui si presentò: fu persino ammesso a quello dell’École préparatoire. Vediamo come venne svolto il primo esercizio della prova di matematica.
Cauchy, un precursore dimenticato
Non essendosi occupato direttamente della risoluzione delle equazioni algebriche, Augustin-Louis Cauchy è una figura dimenticata nella storia della teoria dei gruppi. I suoi lavori sulle permutazioni fornirono tuttavia preziosi strumenti a quanti si occuparono della teoria di Galois.
Gli schemi alle differenze finite
La fisica, la biologia, la chimica, la meccanica e molti altri ambiti sono ricchi di fenomeni che si prestano a una modellizzazione matematica mediante equazioni differenziali o alle derivate parziali. In genere non è possibile risolvere esplicitamente queste equazioni. Occorre quindi cercare di approssimarne le soluzioni…
Dimostrare senza dire nulla
Un disegno o un diagramma non sostituiranno mai una dimostrazione «in piena regola», ma possono contribuire a renderla evidente. In questo senso, le dimostrazioni senza parole tanto care ai matematici sono un bell’esercizio di stile. Alcune di esse sono diventate classici del genere.
Quando i metodi numerici danno la soluzione
Salvo il caso in cui un’equazione differenziale sia lineare o di un tipo molto particolare, in generale non esiste un metodo esatto per risolverla, cioè per trovarne una soluzione. Spesso si è quindi costretti a ricorrere a metodi approssimati e a schemi numerici.
Una relazione tra funzioni e derivate
Storicamente, le equazioni differenziali comparvero agli albori dello sviluppo dell’analisi, in occasione di problemi di geometria e meccanica.
La statica grafica
Conoscete la «statica grafica»? Nata dalla matematica, e in particolare dalla geometria, è l’arte di equilibrare le forze che agiscono su un corpo… senza fare alcun calcolo. Sorprendentemente, le origini della disciplina risalgono a molto prima dell’introduzione dei vettori!
I diagrammi di Lewis Carroll
Lewis Carroll è noto in tutto il mondo come l’autore di Alice nel paese delle meraviglie. Dietro questo pseudonimo si celava in realtà un professore di matematica di Oxford, Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), appassionato di logica.
Riforma del liceo: la matematica prende la tangente | Tangente
Lo scorso gennaio, la Société mathématique de France, insieme a diverse società scientifiche e associazioni professionali, ha avvertito il ministero degli effetti catastrofici della nuova riforma dei licei sull’insegnamento della matematica. Spiegazioni e analisi, cifre alla mano.