Saperi
Articoli di approfondimento sulle conoscenze e teorie matematiche
La mia prima equazione differenziale | Tangente
Le equazioni differenziali vi spaventano? È comprensibile. Eppure, imponendo alcuni vincoli, le si possono affrontare con grande facilità; la linearità è uno di questi. Quando poi i fattori in gioco sono costanti, diventano accessibili a tutti, soprattutto se il secondo membro è nullo.
Equazioni differenziali / Conoscere lo spazio delle soluzioni senza calcolarle
Mescolare strumenti, metodi e tecniche della geometria, dell’algebra e dell’analisi può condurre a risultati particolarmente fecondi e spettacolari. Talvolta è così possibile ottenere informazioni sullo spazio delle soluzioni di un’equazione differenziale senza dover calcolare tali soluzioni!
Oltre la convessità | Tangente
L’idea intuitiva della nozione di convessità sembra tra le più naturali. Eppure, non possiamo evitare di chiederci se, modificando leggermente la definizione formale, non si giungerebbe ad altre idee interessanti… Anche sotto questo aspetto, infatti, la convessità è feconda!
Funzioni utili in analisi
Con un grafico «rivolto verso il cielo», le funzioni convesse invitano all’ottimismo. Più seriamente, introdotte per dimostrare eleganti disuguaglianze, hanno mostrato la loro importanza ben oltre la matematica. Ma quali sono, precisamente, le proprietà delle funzioni convesse?
Forme sorprendenti nello spazio
Come nel piano, nello spazio si possono definire molte palle associate a norme. Troveremo poliedri, alcuni regolari, altri più sorprendenti. Potrete così confezionare una graziosa collezione festiva di palle da abbinare al vostro prossimo albero di Natale!
Palle nel piano
Una palla è l’insieme dei punti la cui distanza da un centro è inferiore a una costante. I matematici, sempre alla ricerca di generalizzazioni, accettano questa definizione di palla… in qualunque spazio, munito di una qualsiasi «distanza».
La geometria convessa
La geometria convessa si colloca al confine tra ottimizzazione, analisi, topologia, combinatoria e, naturalmente, geometria. Le interpretazioni grafiche o visive che consente costituiscono un potente strumento per l’intuizione. Restano tuttavia aperte questioni fondamentali.
Distanze sorprendenti: Manhattan e Čebyšëv | Tangente
La distanza euclidea nel piano è quella che tutti conoscono: esprime il fatto che il percorso più breve fra due punti si ottiene in linea retta. Ma ne esistono molte altre, spesso insolite. Alcune sono persino sorprendenti…
Così lontani, così vicini…
Qual è la distanza tra Parigi e Roma? Di fronte a questa domanda, è legittimo chiedersi se si intenda «in linea d’aria», «in treno», «in auto» oppure «in senso euclideo». Con le distanze ultrametriche scopriamo persino un universo in cui tutti i triangoli sono isosceli.
Punti sulla sfera: problema dei dittatori | Tangente
Come distribuire «nel modo migliore possibile» dei punti su una sfera? L’idea è che i punti siano quanto più lontani possibile gli uni dagli altri. Considerando due, tre o quattro punti, si potrebbe pensare che vadano bene i vertici di un poliedro regolare inscritto nella sfera. Eppure…
Il problema di Berlekamp: gioco di strategia | Tangente
La nozione di distanza può trovare applicazioni in ambiti talvolta inattesi. Un esempio giocoso è la risoluzione del problema di Berlekamp, in cui entra in scena la distanza di Hamming, rivelandosi particolarmente efficace!
Il problema di evoluzione nella relatività generale
Le equazioni della relatività generale di Einstein sono tornate molto in voga negli ultimi anni. Sono stati compiuti progressi sulla stabilità dello spazio di Minkowski e sull’ancora sfuggente congettura di censura cosmica, formulata dal premio Nobel per la fisica 2020 Roger Penrose...
Un sogno da architetto?
È noto che il numero aureo si ritrova ovunque nell’arte... purché si voglia cercarlo e si passi sopra (!) a qualche approssimazione o unità di misura anacronistica. Proviamo a risalire agli scritti che lo hanno legato all’architettura e lo hanno fatto conoscere al pubblico.
Notevoli proprietà matematiche
A prima vista, il numero aureo, che porta un nome mitico, non ha nulla di eccezionale dal punto di vista matematico: è banalmente la soluzione positiva di un’equazione polinomiale di secondo grado. Tanto rumore per nulla? Cerchiamo però di vedere quali sorprese ci riserva.
Il diagramma di Cayley
Come cogliere a colpo d’occhio la struttura di un gruppo finito? A questa domanda risponde il diagramma di Cayley!
Il programma di Erlangen
In occasione della sua nomina a professore all’università di Erlangen nel 1872, Felix Klein, allora appena ventitreenne, presentò un programma di ricerca in geometria noto da allora come «Programma di Erlangen». Al centro di questo programma si trova il concetto di gruppo.
Il gruppo di Klein e le sue incarnazioni
Quando si comincia a maneggiare i gruppi, si compila pazientemente la tavola di quelli con pochi elementi. Il gruppo con un elemento si riduce all’elemento neutro, ed è quindi unico. Analogamente, quelli con due e tre elementi sono determinati senza ambiguità. Le sorprese cominciano con quattro elementi...
I gruppi, una questione di relazioni
La nozione di gruppo, nata all’inizio del XIX secolo per risolvere le equazioni polinomiali, si estese ben presto ad altri ambiti, anche fuori dalla matematica: permette di interessarsi alle relazioni tra gli oggetti anziché agli oggetti stessi.
Trasformazioni geometriche in gruppi
Astratta e puramente algebrica, la nozione di gruppo? Tutt’altro! In geometria, permette di non lasciarsi travolgere dalla profusione e dalla varietà apparenti delle trasformazioni, oppure di cogliere i diversi tipi di simmetria che si possono incontrare.
Le prime formalizzazioni
La tragica morte di Évariste Galois ha conferito un carattere epico all’introduzione del concetto di gruppo in matematica. Meno noto, il seguito è però affascinante e culmina in brillanti teoremi ancora insegnati oggi. Sessant’anni più tardi, la nozione di gruppo era finalmente consolidata.