Dossiers

Les mathématiques peuvent entretenir l'étonnement. La logique avec de surprenants paradoxes, la géométrie avec les illusions d'optique, le calcul avec des tours de magie automatiques sont quelques-uns des domaines où se rencontre cet émerveillement suscité par la présence sous-jacente d'un principe mathématique. L'admiration peut aussi provenir de la façon inattendue, voire incroyablement belle dont se résout un problème, grâce à un deus ex machina, cette sorte d'intervention divine qui suscite le ha ha, « l'éclair de la compréhension » comme l'appelait Martin Gardner.

Observer le dessin que trace, selon l'heure, l'ombre du parasol sur le petit muret en bord de plage. Chercher à prévoir la forme adoptée par un tas de sable dont la base repose sur des contours sinueux. Contempler le mouvement des vagues ou l'ondulation des dunes et comprendre l'analogie entre ces merveilles de la nature et les équations qui les régissent. En un mot, bronzer intelligent. Voilà ce que Tangente propose cet été à ses lecteurs.

C'est le temps de l'été, le temps des vacances et des jeux, de toutes sortes de jeux. • Jeux vidéo ? Les maths (vecteurs, matrices et même les quaternions) sont omniprésentes pour en gérer l'animation. • Jeux de cartes ? Bien mélanger n'est pas si simple, surtout si le jeu est infini… • Programmer un jeu mathématique ? La créativité est au rendez-vous pour tous les jeunes talents qui veulent s'y essayer dans le cadre du prix Bernard-Novelli. • Faire chauffer ses neurones à la plage ou sur les quais de la Seine ? Les rubriques habituelles de jeux et problèmes sont toujours présentes, avec l'addition (mystère, bien sûr) de deux pages inédites de cryptarithmes. Tangente souhaite un bel été à tous ses lecteurs.

Une courbe peut être vue dans sa globalité comme un objet statique, mais aussi comme la trajectoire d'un point se mouvant dans l'espace. De la dynamique à la cinématique, les courbes permettent de représenter naturellement les mouvements des corps, des astres les plus volumineux aux particules les plus minuscules ou aux rayons lumineux. Un autre lien entre théorie et pratique est matérialisé par les systèmes mécaniques, ces assemblages parfois étonnants que l'on peut utiliser pour tracer les courbes.

Un mécanisme est communément perçu comme un dispositif permettant de combiner le mouvement. Aussi, la physique, la modélisation, les mathématiques, le mouvement et donc les technologies et les mécanismes sont intimement liés. Ils s'incarnent de mille manières astucieuses et élégantes, à travers les engrenages, la vis d'Archimède, les horloges, les moteurs, les métiers à tisser, les cartes perforées et toutes les machines que le génie humain a pu concevoir. De nos jours, l'électronique a bouleversé le paysage en intégrant d'autres mouvements subtils : celui des électrons et la transmission de l'information.

Les nombres entiers positifs sont les plus simples à concevoir, on les qualifie d’ailleurs de « naturels ». Ils recèlent pourtant des propriétés riches et étonnantes. Certains d’eux portent le nom de celui (ou celle) qui les a étudiés, ou même, pourrait-on dire, découverts. Qu’ils soient la réponse à une question de dénombrement, qu’ils possèdent des propriétés arithmétiques remarquables ou qu’ils désignent des ordres de grandeurs difficiles à concevoir, la rencontre de quelques-uns de ces « nombres de… » est l’occasion d’explorer l’histoire des mathématiques.

Les nombres sont au centre de l'édifice mathématique. Après une longue période où ils étaient appréhendés par l'intuition, le besoin s'est fait sentir de les concevoir à l'aide d'une axiomatique rigoureuse ; celle introduite par Peano pour les entiers naturels en est le plus bel exemple. La théorie des ensembles a ensuite débouché sur la construction des rationnels, des réels, des complexes. S'inspirant de ces méthodes et les généralisant, elle a permis de définir des structures plus générales comme la notion de groupe et de donner un socle rigoureux à la géométrie dans le cadre de la théorie des espaces vectoriels.

Géométrie non euclidienne, géométrie projective : chaque vision nouvelle étend le concept de droite. La notion de « plus court chemin d'un point à un autre » fait entrevoir la notion de géodésique sur une surface, avec des surprises et des problèmes amusants. Et les ordinateurs s'en mêlent pour nous aider à construire des droites !

Algèbre, analyse : la double nature des polynômes les rend incontournables. En algèbre, ils agissent un peu comme des nombres ; on peut les additionner, les multiplier, les diviser, les factoriser… En analyse, ils se métamorphosent en fonctions. Leur simplicité et leur souplesse leur permettent de faciliter la notion d'intégration et d'approcher d'autres fonctions plus complexes, avec une propriété fascinante : leur qualité à « épouser » la courbe représentative de toute fonction dérivable sur un intervalle. Et les polynômes n'ont pas dit leur dernier mot ! Ils réservent encore bien des surprises à qui se lance dans leur étude.

L'activité humaine est soumise à des contraintes de toutes sortes : matérielles, humaines, financières, spatiales, temporelles… Cette limitation des ressources explique qu'une grande partie des « mathématiques appliquées » consiste à optimiser un critère sous certaines contraintes. Ce dossier ciblé propose d'explorer une facette méconnue et non technique de l'optimisation : oui, sans machinerie analytique sophistiquée, avec seulement une bonne compréhension de concepts algébriques ou géométriques simples, on peut déjà obtenir des résultats étonnants !