Conocimientos
Artículos de fondo sobre conocimientos y teorías matemáticas
La exponencial compleja
¿Cómo extender la clásica función exponencial a los números complejos? ¿Se conservarán sus propiedades habituales? Aunque la exponencial así extendida se estudia fácilmente, el concepto asociado de logaritmo complejo es más difícil de delimitar. Será objeto de polémicas en el siglo XVIII.
El teorema de Marden
Los números complejos, nacidos de cálculos imposibles, han encontrado una improbable interpretación geométrica. Este encuentro entre el mundo del álgebra y el de la geometría queda magníficamente ilustrado por teoremas sobre las raíces de un polinomio complejo.
La geometría de los complejos
El sueño de René Descartes —transformar un problema de geometría pura en un problema algebraico— era realizable… ¡pero más de un siglo después! Gracias a los números complejos, nació así otra forma de explorar las figuras y construcciones geométricas.
Otra transformación: la inversión
Las isometrías (y, más en general, las semejanzas) no son las únicas transformaciones del plano que se describen fácilmente mediante números complejos. Lo mismo ocurre con la inversión.
Semejanzas interesantes...
El estudio de las isometrías se aborda bien desde el punto de vista de los números complejos. Sin embargo, estas transformaciones no son las únicas que pueden describirse mediante fórmulas sencillas. Si prescindimos de la conservación de las longitudes, se abre ante nosotros la amplia familia de las semejanzas.
Las isometrías del plano
El estudio de las isometrías del plano (simetrías, traslaciones, rotaciones...) puede marear a veces. ¿Qué le ocurre a un punto o a una figura cuando se aplican sucesivamente varias transformaciones? Los números complejos ofrecen una representación tan elegante como esclarecedora.
Números no tan complejos
¿Qué realidad encierran los números complejos? ¿Cómo «imaginar» que i² sea igual a −1? Una respuesta visual impactante se obtiene mediante una interpretación geométrica de la multiplicación. Y, como guinda del pastel, este mismo modelo explica por qué «menos por menos da más».
Conjugado, módulo y argumentos
Una vez admitida la existencia de un número i tal que i²=-1, ¿no corremos el riesgo de perder el contacto con la realidad física? Al contrario, se establece una correspondencia profunda y fecunda: cuestiones de geometría pura se resuelven mediante simples manipulaciones algebraicas.
Los números complejos de módulo 1
De simples símbolos formales para el cálculo algebraico, los números complejos pasaron, gracias a su interpretación geométrica, a usarse habitualmente a partir del siglo XIX… ¡en casi todos los ámbitos de las matemáticas! Intervienen así de forma natural en la teoría de números.
? es un cuerpo algebraicamente cerrado
El cuerpo ? de los números complejos se construyó para proporcionar soluciones a todas las ecuaciones de segundo grado. La sorpresa es que también contiene las soluciones de todas las ecuaciones algebraicas con coeficientes en ?. En términos técnicos, es algebraicamente cerrado.
¿Qué es un número complejo?
El conjunto de los números complejos se impuso (no sin dificultad) cuando hubo que hallar, más allá de los números reales, todas las soluciones de una ecuación de segundo grado. Lo imprevisto fue su riqueza y los vínculos que acabaría estableciendo con las matemáticas en su conjunto. Primeros descubrimientos.
El análisis de correspondencias
¿Cómo examinar datos sociales sin caer en ideas preconcebidas o estereotipos? El análisis factorial de correspondencias, que hoy cede terreno ante otras técnicas, permite sustituir el sentido común y los prejuicios por factores neutros y objetivos.
Modelización de preferencias: voto y elección social | Tangente
Todos nos vemos constantemente obligados a elegir en función de nuestras preferencias. Modelizarlas constituye una etapa decisiva en el apoyo a la toma de decisiones; por ello interesa a las ciencias humanas, en particular a la sociología.
De las identidades a las aplicaciones destacadas
Las identidades notables estudiadas en la ESO (y ahora al comienzo del bachillerato…) pueden resultar muy útiles para hallar las soluciones de ciertas ecuaciones, entre ellas las de segundo grado. ¡Todo consiste en saber dónde se esconden esas misteriosas identidades!
Topología algebraica aplicada a Internet | Tangente
En Internet se propone otra forma de acercarse a las matemáticas, con ayuda de la topología algebraica.
Probabilidades: herramientas del economista | Tangente
La recopilación de datos solo tiene sentido si la información se ordena, clasifica y estudia con fines útiles. Algunas recopilaciones se refieren a datos numéricos y pueden tratarse estadísticamente sin transformación alguna. Pero no siempre es así.
La gestión de existencias en un entorno aleatorio
Desde el pequeño panadero hasta el hipermercado, los comerciantes se enfrentan, para cada producto que ponen a la venta, a dilemas. ¿Qué cantidad poner a disposición de los clientes? ¿Poca, con el riesgo de perder ventas, o mucha, con el riesgo de quedarse con productos sin vender? Y, por supuesto, ¿a qué precio? Un modelo probabilístico puede ayudarles a decidir.
Una introducción a la econometría
Los modelos económicos no son más que una representación simplificada de la realidad. La econometría es un conjunto de herramientas que permiten estimar los parámetros de estos modelos y comprobar su validez. El problema es que, cuanto más se pretende ajustar a la realidad, más complejo será el modelo…
Las fórmulas de la contratación pública
La competencia leal, que se deriva de la Declaración de los Derechos del Hombre, es, por fortuna, el principio fundamental de toda contratación pública. Pero la libre elección de las fórmulas de puntuación introduce una inevitable dosis de subjetividad.
Lo que prefieren los consumidores
¿Cómo modelizar el comportamiento de un consumidor concreto? Sus gustos, sus necesidades y el presupuesto del que dispone son parámetros que orientarán su elección. Las nociones, plenamente matemáticas, de preferencia, indiferencia o utilidad deberían ayudarnos…