Matemáticas para todos
Contenidos matemáticos accesibles para todos
Los polinomios... vistos como vectores
¿Qué relación puede haber entre un trinomio de segundo grado y un vector del espacio? A priori, ninguna, pues se trata de objetos de distinta naturaleza. Sin embargo, ambos tienen la misma forma: se describen mediante una terna de números. Mejor aún: ¡los cálculos sobre cada uno se corresponden!
El dibujo de la tela de araña
¿Alguna vez se ha dejado llevar y ha dibujado unas cuantas telas de araña al margen de un cálculo infructuoso? No al modo de un entomólogo —pues las arañas no son insectos—, sino según su fantasía, enmarcada por unas sencillas reglas geométricas…
¡Las palabras son vectores!
Comparar dos vectores equivale, en cierto modo, a comparar dos textos. De hecho, esta analogía resulta muy pertinente para estudiar un corpus literario: las herramientas del álgebra lineal, unidas a la potencia informática, permiten confrontar dos textos o medir sus semejanzas.
Componer transformaciones geométricas
Algunos problemas geométricos, incluso complicados en apariencia, se aclaran rápidamente mediante transformaciones geométricas y a menudo se resuelven componiéndolas. Para ello, conviene reformularlos en términos vectoriales.
Alineación, coplanaridad, concurrencia... ¡la misma historia!
Las nociones de puntos y rectas del plano son duales: a los teoremas sobre alineaciones de puntos corresponden teoremas sobre concurrencias de rectas. Esta dualidad puede definirse geométricamente. Incluso la encontramos en el espacio con la coplanaridad.
Una geometría sin figuras
Michel Chasles lo había soñado; la teoría de los espacios vectoriales lo permite ahora: se puede hacer geometría sin trazar figura alguna. Así, coexisten dos puntos de vista, el geométrico y el algebraico, ¡y cada cual puede situarse en el que se sienta más cómodo!
De lo vectorial a lo afín… ¡y viceversa!
El álgebra lineal surgió de la necesidad de proporcionar un marco a la geometría habitual. Desde el punto de vista del cálculo, ¡lo ha conseguido! Al sistematizarse ciertas operaciones y manipulaciones, se simplifica y se hace más riguroso el razonamiento geométrico.
Aplicaciones lineales: el «núcleo duro» del álgebra… lineal
Las aplicaciones lineales son un concepto imprescindible de la teoría de los espacios vectoriales. Tienen múltiples usos, incluso para diseñar y resolver juegos.
«La» dimensión: ¡una idea no tan evidente!
La noción de dimensión se intuye ya en Euclides y se precisa con Descartes, antes de diversificarse según el objeto de estudio: geometría analítica, espacios vectoriales o topología. ¡Hay dimensiones a raudales! Aquí nos centramos en la de los espacios vectoriales, debida a Georg Hamel.
Espacios vectoriales musicales de Yannis... | Tangente
El célebre compositor Yannis Xenakis introdujo en 1963 una suerte de aritmética de la composición musical basada en la noción de estructura matemática, en particular en la de espacio vectorial. Esta aportación del artista se presta de maravilla al análisis científico.
Cálculo matricial en nuestras imágenes - Breve de matemáticas | Tangente
Las matrices y los vectores se han convertido en herramientas matemáticas e informáticas imprescindibles para el tratamiento digital de imágenes.
El manifiesto del arte vectorial - Breve de matemáticas | Tangente
El colectivo Scowcza crea obras de arte vectorial. Ya han visto varias en los artículos de este número
Método de Gram-Schmidt | Breve de matemáticas | Tangente
Descubra el célebre método, llamado de Gram-Schmidt, que permite construir bases ortonormadas de espacios vectoriales.
Producto vectorial y producto mixto
Definidos en el espacio euclídeo de dimensión 3, estos dos productos son herederos de los cuaternios de Hamilton. Se han convertido en herramientas útiles en geometría y mecánica.
La lenta aparición de los espacios euclidianos
La definición axiomática del producto escalar proporcionó un marco riguroso y fecundo para estudiar las propiedades métricas, es decir, las relativas a las nociones de distancia, ángulo y ortogonalidad. Hubo que esperar hasta la década de 1920 para precisar esta noción.
Traslaciones y rotaciones - Breve de matemáticas | Tangente
Las traslaciones y las rotaciones tienen numerosas aplicaciones. ¡Y no solo en geometría!
Primeros ejemplos de espacios vectoriales (2)
No hay buen espacio vectorial E sin un cuerpo base K. Pero ¿qué es exactamente un cuerpo?
Gaston Darboux, el artista geómetra
Gaston Darboux, a quien se celebra este año, falleció hace un siglo. Durante toda su vida siguió siendo «un joven de saber excepcional y de las más altas esperanzas», al que debemos una obra considerable. Sus resultados geométricos sobre las superficies ortogonales son espectaculares.
Máquinas criptográficas: historia del cifrado
Desde la Antigüedad, los seres humanos buscan garantizar mediante el cifrado el secreto de su correspondencia. Como los métodos sencillos se descifran con facilidad, se inventaron otros más sofisticados, pero de manejo manual delicado. Por ello, se impuso el uso de máquinas.
La fascinación de los engranajes: geometría y mecánica
El engranaje es tanto un objeto de fascinación como el símbolo de la mecánica. Determinar el perfil de los dientes es un sofisticado problema matemático. Esta larga historia, que se remonta a la Antigüedad y aún no ha terminado de escribirse, ¡es, sin embargo, muy poco conocida!