Matematica per tutti
Contenuti matematici accessibili a tutti
I polinomi…visti come vettori
Che relazione può esserci tra un trinomio di secondo grado e un vettore dello spazio? A prima vista nessuna, perché si tratta di oggetti di natura diversa. Eppure hanno la stessa forma: sono descritti da una terna di numeri. Di più: i calcoli effettuati sugli uni corrispondono a quelli effettuati sugli altri!
Il disegno della ragnatela
Vi è mai capitato di mettervi a disegnare qualche ragnatela a margine di un calcolo infruttuoso? Non alla maniera di un entomologo — i ragni non sono insetti —, ma lasciandovi guidare dalla fantasia, nel rispetto di poche semplici regole geometriche...
Le parole sono vettori!
Confrontare due vettori equivale un po’ a confrontare due testi. Questa analogia è infatti molto pertinente per studiare un corpus letterario: gli strumenti dell’algebra lineare, uniti alla potenza di calcolo, permettono di confrontare due testi o di misurarne le somiglianze.
Comporre trasformazioni geometriche
Alcuni problemi geometrici, anche se in apparenza complessi, si chiariscono rapidamente ricorrendo alle trasformazioni geometriche e spesso si risolvono componendole. A questo scopo, conviene riformularli in termini vettoriali.
Allineamento, complanarità, concorrenza... stesso discorso!
Le nozioni di punti e rette del piano sono duali: ai teoremi sugli allineamenti di punti corrispondono teoremi sulle concorrenze di rette. Questa dualità può essere definita geometricamente. La si ritrova persino nello spazio con la complanarità.
Una geometria senza figure
Michel Chasles l’aveva sognata, la teoria degli spazi vettoriali oggi lo rende possibile: si può fare geometria senza tracciare alcuna figura. Coesistono così due punti di vista, geometrico e algebrico, e ciascuno può scegliere quello in cui si sente più a suo agio!
Dallo spazio vettoriale a quello affine… e viceversa!
L’algebra lineare nacque dall’esigenza di trovare un quadro per la geometria usuale. Dal punto di vista dei calcoli, è stato un successo! La semplificazione di alcune operazioni e manipolazioni, divenute più sistematiche, rende più semplice e rigoroso il ragionamento geometrico.
Applicazioni lineari: il «nucleo duro» dell’algebra… lineare
Le applicazioni lineari sono un concetto fondamentale nella teoria degli spazi vettoriali. I loro impieghi sono molteplici, anche nella progettazione e nella risoluzione di giochi.
«La» dimensione: un’idea non così ovvia!
La nozione di dimensione si intravede già in Euclide, poi si precisa con Cartesio, prima di diversificarsi a seconda dell’ambito di studio: geometria analitica, spazi vettoriali o topologia. Le «dimensioni» abbondano! Qui ci concentreremo su quella degli spazi vettoriali, dovuta a Georg Hamel.
Gli «spazi vettoriali musicali» di Yannis... | Tangente
Il celebre compositore Yannis Xenakis introdusse nel 1963 una sorta di aritmetica della composizione musicale, fondata sulla nozione di struttura matematica, in particolare sulla nozione di spazio vettoriale. Il contributo dell’artista si presta meravigliosamente all’analisi scientifica.
Il calcolo matriciale nelle nostre immagini - Breve di matematica | Tangente
Matrici e vettori sono diventati strumenti matematici e informatici imprescindibili per l’elaborazione digitale delle immagini.
Il manifesto dell’arte vettoriale - Breve di matematica | Tangente
Il collettivo Scowcza realizza opere di arte vettoriale. Ne avete già incontrate diverse negli articoli di questo numero
Metodo di Gram-Schmidt - Breve di matematica | Tangente
Scoprite il celebre metodo, detto di Gram-Schmidt, che permette di costruire basi ortonormali di spazi vettoriali
Prodotto vettoriale e prodotto misto
Definiti nello spazio euclideo tridimensionale, questi due prodotti derivano dai quaternioni di Hamilton. Sono diventati strumenti utili in geometria e in meccanica.
La lenta nascita degli spazi euclidei
La definizione assiomatica del prodotto scalare ha fornito un quadro rigoroso e fecondo per lo studio delle proprietà metriche, cioè quelle relative alle nozioni di distanza, angolo e ortogonalità. Per enucleare questa nozione si dovettero attendere gli anni Venti.
Traslazioni e rotazioni - Pillola matematica | Tangente
Le traslazioni e le rotazioni hanno numerose applicazioni. E non solo in geometria!
Primi esempi di spazi vettoriali (2)
Non esiste un buon spazio vettoriale E senza un campo di base K. Ma che cos’è esattamente un campo?
Gaston Darboux, il geometra artista
Gaston Darboux, celebrato quest’anno, morì un secolo fa. Per tutta la vita restò «un giovane di rarissimo sapere e delle più alte speranze», al quale si deve un’opera considerevole. I suoi risultati geometrici sulle superfici ortogonali sono spettacolari.
Macchine crittografiche: storia della cifratura
Fin dall’antichità, gli uomini cercano di proteggere con la cifratura la segretezza della propria corrispondenza. Poiché i metodi semplici si decifrano facilmente, ne sono stati inventati di più sofisticati, ma difficili da usare a mano. Si è quindi imposto l’uso delle macchine.
Il fascino degli ingranaggi: geometria e meccanica
L’ingranaggio è tanto un oggetto di fascino quanto il simbolo della meccanica. Determinare il profilo dei denti è un problema matematico sofisticato. Questa lunga storia, che risale all’Antichità e non ha ancora finito di essere scritta, è tuttavia ben poco conosciuta!