Tematiche matematiche
Esplora i grandi temi della matematica: geometria, algebra, analisi, aritmetica, logica e molti altri ambiti appassionanti.
Phi è irrazionale: dimostrazione geometrica | Tangente
Vediamo come dimostrare che φ è irrazionale.
Quando la matematica incontra il fumetto | Tangente
Stabilire un legame con la matematica non è forse la prima idea che viene in mente agli appassionati della nona arte. Eppure, i due ambiti sono tutt’altro che impermeabili l’uno all’altro come si potrebbe pensare; dalla loro unione nascono talvolta vere perle.
Notevoli proprietà matematiche
A prima vista, il numero aureo, che porta un nome mitico, non ha nulla di eccezionale dal punto di vista matematico: è banalmente la soluzione positiva di un’equazione polinomiale di secondo grado. Tanto rumore per nulla? Cerchiamo però di vedere quali sorprese ci riserva.
Combinazioni e permutazioni nell’arte moderna | Tangente
Le permutazioni compaiono in numerose opere d’arte concettuale. Vediamo, attraverso alcuni esempi emblematici, come gli artisti si siano spontaneamente appropriati della nozione di gruppo.
Un esempio di gruppo nelle scienze umane
Un’applicazione concreta, semplice e classica del concetto matematico di gruppo si trova nell’antropologia sociale. Fu messa in evidenza dall’antropologo ed etnologo Claude Lévi-Strauss, che lavorò con la collaborazione del matematico André Weil.
La crittologia rivisitata
I primi impieghi dei gruppi in crittografia risalgono agli anni 1920-1930. Il più noto riguarda la decrittazione della macchina Enigma. Negli anni Settanta, i gruppi resero possibili nuovi metodi di cifratura, come il metodo RSA e le curve ellittiche.
Il diagramma di Cayley
Come cogliere a colpo d’occhio la struttura di un gruppo finito? A questa domanda risponde il diagramma di Cayley!
I gruppi di Lie
I gruppi introdotti dal matematico Sophus Lie sono diventati strumenti imprescindibili della fisica teorica.
Il programma di Erlangen
In occasione della sua nomina a professore all’università di Erlangen nel 1872, Felix Klein, allora appena ventitreenne, presentò un programma di ricerca in geometria noto da allora come «Programma di Erlangen». Al centro di questo programma si trova il concetto di gruppo.
Il gruppo di Klein e le sue incarnazioni
Quando si comincia a maneggiare i gruppi, si compila pazientemente la tavola di quelli con pochi elementi. Il gruppo con un elemento si riduce all’elemento neutro, ed è quindi unico. Analogamente, quelli con due e tre elementi sono determinati senza ambiguità. Le sorprese cominciano con quattro elementi...
Editoriale
«Il concetto di gruppo preesiste nella nostra mente, almeno in potenza. Si impone a noi non come forma della nostra sensibilità, bensì come forma del nostro intelletto.» Henri Poincaré, La science et l’hypothèse, 1902.
Le parole dei gruppi
La parola «gruppo» fu introdotta dallo stesso Évariste Galois nel XIX secolo, senza una definizione precisa. La comparsa di questa nozione rese necessario un nuovo vocabolario.
Il gruppo dei fondatori: Galois, Cayley, Jordan | Tangente
Il concetto di gruppo non è apparso dall’oggi al domani. Come molti concetti matematici, anche l’idea, per quanto «elementare», ha richiesto tempo, molto tempo, per emergere, così come le definizioni… che oggi ci sembrano tanto evidenti.
I gruppi, una questione di relazioni
La nozione di gruppo, nata all’inizio del XIX secolo per risolvere le equazioni polinomiali, si estese ben presto ad altri ambiti, anche fuori dalla matematica: permette di interessarsi alle relazioni tra gli oggetti anziché agli oggetti stessi.
Nei programmi scolastici
Il periodo delle cosiddette «matematiche moderne» evoca molti ricordi, alcuni piacevoli, altri decisamente meno. Ma bisogna per questo buttare il bambino con l’acqua sporca?
Trasformazioni geometriche in gruppi
Astratta e puramente algebrica, la nozione di gruppo? Tutt’altro! In geometria, permette di non lasciarsi travolgere dalla profusione e dalla varietà apparenti delle trasformazioni, oppure di cogliere i diversi tipi di simmetria che si possono incontrare.
Il Mostro: il più grande gruppo sporadico | Tangente
Il Mostro è un gruppo con un numero di elementi superiore al numero di atomi presenti sulla Terra. Conosciamolo...
Le prime formalizzazioni
La tragica morte di Évariste Galois ha conferito un carattere epico all’introduzione del concetto di gruppo in matematica. Meno noto, il seguito è però affascinante e culmina in brillanti teoremi ancora insegnati oggi. Sessant’anni più tardi, la nozione di gruppo era finalmente consolidata.
La classificazione dei gruppi semplici finiti
Semplici, i gruppi finiti? C’è da vedere: la classificazione dei gruppi semplici finiti, avviata più di cent’anni fa, prosegue ancora oggi con la redazione di una dimostrazione completa! Iniziata alla fine degli anni 1980, dovrebbe concludersi nel 2025. Ma il compito è arduo…
Simmetrie che lasciano invariati gli oggetti
In geometria, che cosa c’è di più naturale che cercare, per ogni oggetto, le trasformazioni che lo lasciano immutato? Così facendo, occorre analizzare queste trasformazioni, individuare le simmetrie dell’oggetto e, sorpresa!, si trovano naturalmente dei gruppi…