Savoirs
Articles de fond sur les connaissances et théories mathématiques
PodcastDes propriétés mathématiques remarquables
A priori, le nombre d'or, qui porte un nom mythique, n'a rien d'exceptionnel du point de vue mathématique : c'est, de manière banale, la solution positive d'une équation polynomiale du second degré. Beaucoup de bruit pour rien ? Essayons toutefois de voir quelles surprises il nous réserve.
PodcastLe diagramme de Cayley
Comment saisir la structure d'un groupe fini d'un seul coup d'œil ? C'est à cette question que permet de répondre le diagramme de Cayley !
PodcastLe programme d'Erlangen
À l'occasion de sa nomination comme professeur à l'université d'Erlangen, en 1872, Felix Klein, âgé de 23 ans seulement, présenta un programme de recherche en géométrie connu depuis sous le nom de « Programme d'Erlangen ». Au cœur de ce programme figure la notion de groupe.
PodcastLe groupe de Klein et ses avatars
Quand on commence à manipuler les groupes, on dresse patiemment la table de ceux qui comportent peu d'éléments. Le groupe à un élément est réduit à l'élément neutre, donc est unique. De même, ceux à deux et trois éléments sont déterminés sans ambiguïté. Les surprises commencent avec quatre éléments...
PodcastLes groupes, une question de relations
La notion de groupe, apparue au début du XIXe siècle pour la résolution des équations polynomiales, s'est très vite étendue à d'autres domaines, y compris hors des mathématiques : elle permet de s'intéresser aux relations entre les objets plutôt qu'aux objets eux-mêmes.
PodcastDes transformations géométriques en groupes
Abstraite et purement algébrique, la notion de groupe ? Pas du tout! En géométrie, elle permet de ne pas se laisser submerger par la profusion et la diversité apparentes des transformations, ou encore d'appréhender les différents types de symétrie que l'on peut rencontrer.
PodcastLes premières formalisations
La mort tragique d'Évariste Galois a donné un caractère épique à l'introduction du concept de groupe en mathématiques. Moins connue, la suite est pourtant passionnante, avec à la clé de brillants théorèmes toujours enseignés aujourd'hui. Soixante ans plus tard, la notion de groupe était enfin établie.
PodcastLa classification des groupes finis simples
Simples, les groupes finis ? Cela reste à voir : la classification des groupes finis simples, démarrée il y a plus de cent ans, se poursuit encore aujourd'hui ? par la rédaction d'une démonstration complète ! Celle-ci, commencée à la fin des années 1980, devrait être achevée en 2025. Mais la tâche est ardue ?
PodcastDes symétries qui laissent les objets invariants
En géométrie, quoi de plus naturel de rechercher pour tout objet les transformations qui le laissent inchangé ? Ce faisant, on doit décortiquer ces transformations, identifier les symétries de l'objet, et ô surprise, on trouve tout naturellement des groupes...
PodcastLes structures quotients
L'analyse fine de la structure interne des groupes finis est d'une redoutable difficulté. Que peut-on dire d'un groupe quelconque ? L'idée est de rechercher des sous-groupes, au sein de G, qui vont permettre de reconstituer G en entier. Pour ce faire, les structures quotients sont d'une efficacité imparable.
PodcastÉlégantes méthodes de résolution : huit énigmes | Tangente
Suite et fin de la série de trois articles consacrés aux méthodes qui permettent de résoudre un problème avec un minimum de technicité. L'objectif : découvrir une approche imaginative et originale qui mute l'énigme vers un environnement familier.
Hypercube : une conjecture mathématique est tombée | Tangente
Le défi : recouvrir des ensembles de points avec un minimum d'hyperplans, et en particulier des ensembles constitués de certains sommets de l'hypercube.
Le théorème de Schwarz
D'Euler à Cauchy, en passant par Clairaut, on ne doutait pas qu'intervertir l'ordre des dérivations partielles ne changeait pas le résultat. Hermann Schwarz bouscula cette croyance par un superbe contre-exemple.
PodcastLe théorème des restes chinois
La périodicité des révolutions planétaires induit naturellement la notion de congruence. La plus ancienne trace écrite de problème sur ce thème est connue sous le nom de théorème des restes chinois. Son universalité est à l'origine de nombreuses et fondamentales applications en théorie des nombres et des polynômes.
PodcastPetit circuit incongru dans le monde des congruences
On le savait en cuisine : accommoder les restes est tout un art. C'est aussi le cas en mathématiques, via un concept d'une grande richesse, celui de congruence. Cette notion permet des applications multiples, qui vont de la vie de tous les jours à des cadres très théoriques.
PodcastL'intelligence artificielle à la rescousse
Le recours à l'outil informatique pour résoudre des problèmes mathématiques n'est pas nouveau. Adam Zsolt Wagner, de l'université de Tel Aviv (Israël), vient de montrer comment le recours à l'intelligence artificielle permet de trouver des contre-exemples à plusieurs conjectures jusque-là ouvertes. Une promesse pleine d'avenir ?
PodcastDe l'intuition à la rigueur :
De Cauchy à Weierstrass, la rigueur s'est imposée en analyse tout au long du XIXe siècle. Des croyances erronées ont été balayées par différents contre-exemples et ont contraint à mieux définir les différentes notions. Certaines fonctions « monstrueuses » ont été introduites, fascinantes pour certains et répugnantes pour d'autres.
PodcastL'exception qui ne confirme pas la règle
Selon une croyance toujours vivace, le contre-exemple est avant tout un amusement. Son rôle est pourtant fondamental dans différents domaines, tant comme démonstration mathématique que comme outil pédagogique... sans oublier son côté divertissant, ou même artistique, suivant le regard qu'on lui porte.
PodcastPrécurseurs des revues mathématiques | Tangente
À petite échelle, plusieurs revues francophones ont précédé Tangente. Parmi celles citées dans cette page, certaines se sont même interrompues pour participer à la création de Tangente.
PodcastUn moteur d'innovation dans l'enseignement
Tangente est présent auprès de très nombreux enseignants ainsi que dans les CDI de lycées en France et dans les pays francophones. Outre ses initiatives directement orientées vers l'enseignement, son rôle de soutien à la diversification de l'apprentissage s'est révélé très utile. Des spécialistes en témoignent.