Saperi
Articoli di approfondimento sulle conoscenze e teorie matematiche
L’esponenziale complesso
Come estendere la classica funzione esponenziale ai numeri complessi? Le proprietà consuete si conserveranno? Se l’esponenziale così esteso si studia facilmente, la nozione associata di logaritmo complesso è più difficile da definire. Sarà oggetto di controversie nel XVIII secolo.
Il teorema di Marden
I numeri complessi, nati da calcoli impossibili, hanno trovato un’improbabile interpretazione geometrica. L’incontro fra il mondo dell’algebra e quello della geometria è splendidamente illustrato dai teoremi sulle radici di un polinomio complesso.
La geometria dei complessi
Il sogno di René Descartes, ossia trasformare un problema di geometria pura in un problema algebrico, era davvero realizzabile… ma oltre un secolo più tardi! Grazie ai numeri complessi, nacque così un altro modo di esplorare figure e costruzioni geometriche.
Un’altra trasformazione: l’inversione
Le isometrie (e, più in generale, le similitudini) non sono le sole trasformazioni del piano che si descrivono facilmente con i numeri complessi. Vale lo stesso per l’inversione.
Similitudini interessanti...
Lo studio delle isometrie si presta bene al linguaggio dei numeri complessi. Tuttavia, queste trasformazioni non sono le sole a poter essere descritte da formule semplici! Se rinunciamo alla conservazione delle lunghezze, si apre davanti a noi la vasta famiglia delle similitudini.
Le isometrie del piano
Lo studio delle isometrie del piano (simmetrie, traslazioni, rotazioni...) può talvolta dare le vertigini. Che cosa accade a un punto o a una figura quando si applicano successivamente più trasformazioni? I numeri complessi ne offrono una rappresentazione tanto elegante quanto illuminante.
Numeri non poi così complessi
Quale realtà descrivono i numeri complessi? Come «immaginare» che i² sia uguale a -1? Una sorprendente risposta visiva passa per un’interpretazione geometrica della moltiplicazione. Ciliegina sulla torta, lo stesso modello spiega perché «meno per meno fa più».
Coniugato, modulo e argomenti
Una volta ammessa l’esistenza di un numero i tale che i²=-1, non si rischia di perdere il contatto con la realtà fisica? Al contrario, si stabilisce una corrispondenza profonda e feconda: semplici manipolazioni algebriche risolvono questioni di geometria pura.
I numeri complessi di modulo 1
Da semplici simboli formali per il calcolo algebrico, i numeri complessi, grazie alla loro interpretazione geometrica, divennero d’uso corrente a partire dal XIX secolo… in quasi tutti gli ambiti della matematica! Intervengono quindi naturalmente nella teoria dei numeri.
? è un campo algebricamente chiuso
Il campo ? dei numeri complessi fu costruito per fornire soluzioni a tutte le equazioni di secondo grado. La sorpresa è che contiene anche quelle di tutte le equazioni algebriche con coefficienti in ?. In termini tecnici, è algebricamente chiuso.
Che cos’è un numero complesso?
L’insieme dei numeri complessi si è imposto (non senza difficoltà) quando si è cercato di trovare, oltre ai numeri reali, tutte le soluzioni di un’equazione di secondo grado. Ciò che non si era previsto era la sua ricchezza e i legami che avrebbe tessuto con l’intera matematica. Prime scoperte.
L’analisi delle corrispondenze
Come esaminare dati sociali senza cedere a idee preconcette o stereotipi? L’analisi fattoriale delle corrispondenze, oggi in declino rispetto ad altre tecniche, è un metodo che permette di sostituire il senso comune e gli a priori con fattori neutri e oggettivi.
Modellizzazione delle preferenze: voto e scelta sociale | Tangente
Tutti noi siamo continuamente chiamati a compiere scelte in base alle nostre preferenze. Modellizzarle è un passaggio decisivo nell’aiuto alla decisione; per questo interessa le scienze umane, in particolare la sociologia.
Dalle identità alle applicazioni notevoli
Le identità notevoli studiate nella scuola secondaria di primo grado (e ora all’inizio delle superiori…) possono rivelarsi molto utili per trovare le soluzioni di alcune equazioni, tra cui quelle di secondo grado. Basta sapere dove si nascondono queste misteriose identità!
Topologia algebrica applicata a Internet | Tangente
Un altro approccio alla matematica, basato sulla topologia algebrica, viene proposto su Internet.
Strumenti dell’economista: probabilità | Tangente
La raccolta dei dati ha senso solo se l’informazione viene ordinata, classificata e studiata per fini utili. Alcune raccolte riguardano dati numerici e possono essere trattate statisticamente senza manipolazioni. Ma non è sempre così.
La gestione delle scorte in un contesto aleatorio
Dal piccolo fornaio all’ipermercato, i commercianti si trovano di fronte, per ogni prodotto in vendita, a dilemmi. Quale quantità mettere a disposizione dei clienti? Poca, rischiando di perdere vendite, oppure molta, rischiando di ritrovarsi con merce invenduta? E, naturalmente, a quale prezzo? Un modello probabilistico può aiutarli a decidere.
Un’introduzione all’econometria
I modelli economici non sono che una rappresentazione semplificata della realtà. L’econometria è un insieme di strumenti che permettono di stimare i parametri di questi modelli e di verificarne la validità. Il problema è che, quanto più si vuole rendere il modello aderente alla realtà, tanto più il modello risulta complesso…
Le formule degli appalti pubblici
La concorrenza leale, che discende dalla Dichiarazione dei diritti dell’uomo, è fortunatamente il principio fondamentale di ogni appalto pubblico. Ma la libera scelta delle formule di valutazione introduce un’inevitabile componente di soggettività.
Le preferenze dei consumatori
Come modellizzare il comportamento di un determinato consumatore? I suoi gusti, le sue necessità e il budget di cui dispone sono tutti parametri che ne guidano la scelta. Le nozioni, squisitamente matematiche, di preferenza, indifferenza e utilità dovrebbero aiutarci…