Dossier

L'idea di raggruppare gli interi secondo il resto della loro divisione per un numero dato è antica quanto l'aritmetica. Dal « teorema dei resti cinesi », ereditato dalla Cina antica e studiato fino al XIII secolo, a quello di Fermat, il campo conoscerà molti progressi, fino all'arrivo di Gauss, che formalizzerà la nozione di « congruenza » e firmerà l'atto di nascita dell'aritmetica modulare. Questa nuova e potente visione dei numeri, che permette di abbracciare l'infinità degli interi in un modello finito, si applica anche a domini concreti: la prova del 9, i cicli dei calendari, i codici di sicurezza... Si ritrova anche in musica e produce alcune graziose curiosità, come certi giochi di prestigio.

Ai confini dell'aritmetica, dell'algebra e dell'analisi si trova un illustre sconosciuto: Diopanto. Se non si sa nulla della sua vita, le equazioni che portano il suo nome hanno dato luogo a una vasta letteratura che collega grandi nomi come Pitagora, Euclide, Fermat, Bézout, Bachet de Mézirac, Lagrange, senza dimenticare, tra tanti altri, Ipazia e Sophie Germain. Questa sezione è quindi l'occasione per scoprire la storia delle equazioni diofantee, per mostrare un volto di Fermat meno conosciuto di quello del suo famoso « grande teorema » così come per meravigliarsi davanti all'ingegnosità matematica grazie a risoluzioni astute a forma… di biliardo !

Cosa hanno di così rimarchevole, queste famose « identità » ? Perché alcune ereditano questo qualificativo ? Non sono certo le formule eleganti e concise che mancano in matematica... Ma non guastiamo il nostro piacere, e torniamo su queste relazioni.

Mandelbrot ha compreso che, lontano dall'essere semplici curiosità matematiche, i frattali, questi oggetti autosimili, potrebbero costituire una descrizione potente di vasti campi del mondo reale. È così che ha offerto uno sguardo nuovo su un intero settore della matematica, mostrando al contempo quanto i modelli frattali potessero essere pertinenti per lo studio della natura o per modellizzare le fluttuazioni dei valori di borsa. Ma se il nome di Benoît Mandelbrot è associato ai frattali, in particolare a quello che porta il suo nome, spesso si dimentica che ha anche lavorato in molti altri campi: aeronautica, teoria dell'informazione, linguistica…

Al giorno d'oggi, gli scolari imparano ancora a eseguire calcoli "a mano" scrivendo le loro operazioni aritmetiche sulla carta. Questi algoritmi ben noti non sono gli unici esistenti. Diverse tecniche si sono evolute nel corso del tempo; quelle che ci vengono insegnate derivano da scelte che possono sembrare arbitrarie. Nell'antichità, si usavano abachi per rappresentare i numeri e addizionarli. Nel XVII secolo, John Napier mise a punto i suoi celebri bastoncini che permettevano di eseguire moltiplicazioni. Tutti questi strumenti hanno dovuto risolvere lo stesso problema principale: gestire i riporti!

Le pavimentazioni regolari e le frieze sono oggi catalogate in modo rigoroso, ma la loro diversità supera di gran lunga la prima intuizione. Nel XX secolo, la teoria dei gruppi ha in effetti risolto la loro apparente varietà, grazie all'introduzione di notazioni altrettanto ingegnose che potenti. Il tema sembrava appena chiuso che si sono scoperte pavimentazioni non regolari! Il matematico Roger Penrose e l'incisore Maurits Cornelis Escher sono stati i precursori di questi nuovi mosaici straordinari e magnifici… di cui gli artisti musulmani avevano già intravisto le ricchezze!

Quale dei nostri lettori non conosce la terna (3, 4, 5), materializzata dalla « corda con tredici nodi » dei costruttori dell'Egitto antico e poi del Medioevo? Perché 3, 4, 5? Perché 32 + 42 = 52, è semplice come il teorema di Pitagora! Questa relazione collega le lunghezze dei tre lati del triangolo rettangolo più elementare che ci sia. Al di là di questi tre numeri diventati mitici, esplorare le terne pitagoriche permetterà non solo di sapere che il teorema di Pitagora era già conosciuto molto prima della nascita del più celebre scienziato dell'antichità, ma anche di svelare i segreti di questi gruppi di tre interi, attraverso le procedure che permetteranno di costruirli. Questo condurrà anche allo studio delle diverse proprietà di tutte le varietà di « triangoli rettangoli ». Ma sapete che Fermat, per mostrare che « l'area di un triangolo rettangolo non può essere un quadrato », ne ha dedotto il suo metodo di « discesa infinita »? Il viaggio attraverso questo tema riserva belle sorprese!

Letteratura e matematica, è un ossimoro? Quest'anno ancora, per l'undicesima edizione del premio Tangente del libro, le opere selezionate provano il contrario. È l'occasione di plaudire quello che preferite votando per lui. Approfittate anche dell'estate per fare nuove scoperte e operare una saggia selezione di libri sulla matematica, grazie alle numerose note di lettura pubblicate nei nostri diversi numeri, in particolare in questo dossier. Gli appassionati di scrittura e divulgazione sono persino invitati a prendere la penna nell'ambito del premio Tangente del migliore articolo.

La matematica è un'opera collettiva forgiata nel corso dei secoli grazie a collaborazioni, sia per produrre conoscenze che opere. Ma da meno di un secolo, le pratiche sono state stravolte. Ai ricercatori isolati di un tempo si sostituiscono sempre più squadre con competenze varie, permettendo nuovi approcci efficaci. Una ricerca massicciamente collaborativa di risultati è, inoltre, resa possibile da Internet e dagli strumenti di comunicazione istantanea. Paul Erdős fu uno dei pionieri di questo movimento il cui geniale matematico Tim Gowers è oggi uno dei motori. Ma la condivisione delle conoscenze avviene anche con il grande pubblico, grazie a un approccio di divulgazione e alla volontà di permettere l'accesso libero agli articoli di ricerca. Software liberi collaborativi vedono la luce, così come siti multi-autore come Wikipedia. La condivisione delle conoscenze su larga scala: gli Antichi ne sognavano, la nostra epoca la sta realizzando!

Le « Big Data » o « megadati » invadono il nostro mondo. Grazie a nuovi algoritmi potenti, permettono di gestire in modo nuovo molti atti relativi alla nostra vita quotidiana. Sempre più oggetti connessi del nostro quotidiano scambiano dati, con il consenso, più o meno implicito, del loro utilizzatore. La loro eterogeneità obbliga a ripensare l'approccio statistico. La loro quantità richiede di rivisitare le rappresentazioni tradizionali così come gli algoritmi classici, a beneficio di nuovi metodi derivati dall'intelligenza artificiale: un settore pieno di futuro per i matematici.