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Ci viene dall'antichità ed è un gioiello della geometria piana. Molto più recente e poco conosciuta dei teoremi di Talete e Pitagora, la formula di Erone permette di determinare l'area di un triangolo utilizzando la sola conoscenza della lunghezza dei suoi lati. È solo la parte visibile della piramide poiché questa pepita geometrica si generalizza ampiamente oltre il triangolo. Così, il geniale Eulero ne ha trovato una versione straordinaria per il tetraedro. Brahmagupta e poi Bretschneider ne hanno proposto una variante per i quadrilateri. Infine, all'istesso modo del suo illustre predecessore, il teorema di Pitagora, la formula di Erone può dar luogo a ricerche aritmetiche straordinarie, come quella dei «tripletti eroniani». Benvenuti nella geometria!

Si può trattare la geometria come un ramo dell'algebra? Questo è l'obiettivo dell'uso degli spazi vettoriali. I risultati sono spettacolari: « algebrizzare » la geometria permette di rivedere la più antica delle scienze, di generalizzarla a contesti inaspettati o più astratti, di guadagnare in rigore, di adottare un approccio più sistematico e computazionale, di ripensare la nozione di spazio, e di scoprire nuovi risultati! Questa nuova « matematica senza figure », conserva l'intuizione geometrica, ma va ben oltre… Estendendo la nozione di distanza introdotta dagli spazi euclidei, l'introduzione degli spazi vettoriali normati, che permette di ampliare il campo degli spazi vettoriali all'analisi funzionale, porta a una nuova raccolta di risultati e applicazioni.

La geometria discreta è un campo all'incrocio di diverse discipline, come la geometria, l'aritmetica o la combinatoria. Per farsene un'idea, immaginiamo di sostituire il piano euclideo, continuo, con una griglia, formata dai punti a coordinate intere. Gli oggetti geometrici che vi incontriamo sono, ad esempio, poligoni i cui vertici si trovano su questi punti. Possiamo definirvi una retta, un cerchio? Queste domande si sono poste con particolare acutezza a partire dagli anni '50, quando si è dovuto rappresentare immagini su schermi, insiemi discreti di pixel. Molti problemi di geometria discreta sono ancora aperti e conducono a sviluppi affascinanti.

Da millenni, i marinai (e più recentemente gli alpinisti) utilizzano nodi per legare le loro corde. Gli intrecci, già presenti nell'arte decorativa romana, si ritrovano nei motivi islamici e celtici. Alla fine del XIX secolo, Tait e Thomson, attraverso un'ipotesi – che si è rivelata falsa – di legami chimici che si intreccierebbero, hanno introdotto i nodi nel campo della matematica. Vi piace annodare gli spaghi o districare le matasse dei vostri gomitoli di lana? La teoria dei nodi è fatta per voi! Le sfide matematiche non vi mancano. Senza saperlo, Gauss, studiando alcune curve, aveva posto le basi di questa teoria, che permette di generare i nodi in modo sistematico, di classificarli, di capire i loro legami con la teoria dei grafi o di distinguerli « a prima vista » con l'aiuto di un invariante completo… che resta ancora da costruire.

Interessarsi ad altre culture implica uscire dall'eurocentrismo naturale che è il nostro. Di conseguenza, domandarsi dell'esistenza di « la nostra » dimostrazione, derivata da Euclide, nelle matematiche estremo-orientali diventa obsoleto. È, invece, formativo seguire l'importazione e la diffusione di questa nozione. Lo studio dell'impatto di questo evento permette così di comprendere la distanza tra diverse pratiche della matematica. Come si pone un'equazione? Come si calcola? I metodi sono numerosi e la loro scoperta si rivela fruttuosa, anche per quelle che la tradizione matematica in Cina può aver dimenticato del proprio passato.

L'arrivo delle teorie relativistiche immaginate da Albert Einstein all'inizio del XX secolo ha rivoluzionato la nostra comprensione dell'universo. Le equazioni del nuovo modello riservano la loro dose di sorprese matematiche, e quindi di affascinamento. La gravitazione diventa una manifestazione della geometria, gli spazi non euclidei si impongono, la formazione di singolarità teoriche fa presagire la scoperta di buchi neri e altri oggetti molto concreti, i tensori impongono nuovi formalismi… Un nuovo mondo, dove la cosmologia si appoggia sulle matematiche, si arricchisce di giorno in giorno ed è lontano dall'aver svelato tutti i suoi segreti!

Da Euclide, la retta è la base della geometria. La maggior parte delle figure ne contengono e numerosi teoremi hanno raccolto la sfida di dimostrare che alcuni punti sono allineati; da ciò si deduce l'esistenza di rette notevoli, come quelle di Eulero o di Simson (vedi qui a fianco). Le rette sembrano « guidare » le curve e le superfici. Una curva si assimila localmente alla sua tangente, all'infinito al suo asintoto. Può essere definita da una famiglia di rette che risultano essere tutte tangenti: è l'inviluppo. Trovare rette in una superficie porta a costruirla meglio. Cosa sorprendente, alcune superfici sono addirittura una riunione di rette mentre tutto sembra curvo in esse!

Pitagora è molto più di un matematico, il cui teorema, celebre fin dall'Antichità, attraversa le generazioni e ha suscitato nel corso dei secoli un numero impressionante di dimostrazioni. Che si parli con deferenza della scuola pitagorica o con diffidenza della setta dei Pitagorici, non si può dimenticare che questo personaggio misterioso, di cui si ignora quasi tutto, è al centro di un edificio filosofico perpetuato dai suoi discepoli che ha influenzato, al di là della matematica e dell'astronomia, la musica stessa.

Il pensiero scientifico permette di fare la differenza tra opinione, credenza e scienza. Strumento indispensabile di ogni cittadino, essa è oggetto, su iniziativa di Henri Broch negli anni 1980, di un insegnamento di metodologia scientifica agli studenti. Lo ha chiamato zetica, riprendendo così un antico vocabolo usato da scrittori e filosofi fin da Viète. Lo sfruttamento di questo spirito critico per smontare le credenze sul paranormale ha contribuito a far conoscere la zetica al grande pubblico. Le matematiche, in particolare l'interpretazione delle statistiche e il famoso paradosso di Yule-Simpson, offrono strumenti di ragionamento che permettono di non cadere nell'oscurantismo intellettuale e di dimostrare il carattere perfettamente naturale di alcuni fenomeni.

La legge della gravitazione di Newton è alla base dei lavori in meccanica celeste. Tuttavia a volte sembra non funzionare. Così Giove e Saturno non sembrano comportarsi come previsto ; il flusso delle maree è superiore a quanto predice la teoria. A forza di lavoro, Laplace scopre fenomeni poco conosciuti: le forze dette di Coriolis, la dinamica delle maree, le risonanze gravitazionali… Il poliedrico normanno aveva persino predetto l'esistenza dei buchi neri!