Dossier

Leggere coltivando il proprio interesse, anzi la propria passione per la matematica, è possibile grazie a Tangente. Per la dodicesima edizione del Prix Tangente du livre, la nostra rivista vi propone di votare per uno dei dieci libri recenti selezionati per la loro capacità di trasmettere il gusto della matematica. Leggere, sì, ma perché non scrivere? Se avete la penna agile e lo spirito inventivo, partecipate al Prix du meilleur article. Un sogno… vedere presto il vostro testo su Tangente! I Trofei Tangente sono rivolti anche agli studenti. Scoprite il palmarès del Prix Tangente des lycée o incoraggiate un giovane a partecipare al Prix Bernard-Novelli, un concorso di creazione di un software di gioco matematico.

Terence Tao è il più famoso dei geni della matematica della nostra epoca. In questo dossier scopriremo molte informazioni su di lui, i suoi studi, i suoi lavori, i risultati che ha ottenuto, i premi che gli sono stati assegnati… La sua attività smentisce l'idea che la matematica sia diventata così vasta che un matematico non possa più, da solo, abbracciarne tutta l'estensione. Ai suoi successi matematici si aggiunge una formidabile volontà di condivisione. Ne è testimone il suo blog, di una ricchezza inesauribile, dove « Terry » dispensa mille consigli, da argomenti specializzati dove le sue risposte permettono di far progredire la ricerca, ad altri più generali, come il modo di affrontare la gestione di una carriera di matematico. Il suo impegno nei progetti collaborativi va in questa direzione, attraverso il suo investimento nella « scienza aperta » o l'energia che mette al servizio dei progetti Polymath. Partiamo alla scoperta di questo matematico straordinario…

È senza dubbio la più famosa costante di tutta la matematica dopo lo 0 o l'1. Il numero π, la cui storia conta diversi millenni e continua a scriversi ancora oggi, esercita un fascino manifesto. È forse a causa della sua onnipresenza in geometria e del suo legame con questa forma perfetta che è il cerchio? Oppure perché la sequenza infinita delle sue cifre decimali sembra totalmente casuale? O ancora a causa dell'abisso che separa la semplicità della sua definizione dalla difficoltà che si incontra nel dimostrare le sue proprietà? Ciò che è certo è che π continua a dare lavoro agli scienziati e a intrigarci.

Fa parte del b.a.ba dell'analisi matematica. Il teorema (o lemma) di Rolle indica che una funzione derivabile che assume due valori uguali possiede almeno un « vertice » dove la sua derivata è nulla. Ma chi era Michel Rolle ? Si sa che fu un accanito oppositore del calcolo differenziale ? Ne seguì una memorabile diatriba con Pierre Varignon. Con la sua estensione il teorema degli incrementi finiti, il teorema di Rolle ammette molteplici applicazioni: in matematica pura come alcuni metodi di risoluzione di equazioni, ma anche in vari campi come la finanza per effettuare alcuni calcoli di interessi.

Quando si considera una famiglia di rette, esiste spesso una curva tangente a ciascuna di esse: è l'involucro di questa famiglia. La sua equazione si calcola a partire dalla parametrizzazione delle rette. Che piacere per l'occhio vedere queste figure geometriche fatte di rette abilmente poste lungo le quali si avvolge una bella curva che sembra sfiorare ciascuna di esse! Tra le curve così costruite, che si possono riconoscere nelle piegature o nei quadri di fili tesi, ritroviamo alcune figure ben note come le coniche. I raggi luminosi che si riflettono su una superficie disegnano anch'essi delle belle curve, chiamate caustiche. Appassionato di ottica e vicino a Leibniz, il conte di Tschirnhaus ha compreso l'interesse del calcolo differenziale per studiarle. Le sviluppate delle curve, involucri delle normali, offrono anch'esse una bella geometria!

Migliorare, guadagnare un po' di qui, evitare di perdere troppo di là, ottimizzare… tutto ciò è competenza dell'analisi! Se l'intuizione geometrica ci serve per confrontare, è proprio l'analisi matematica che ci permetterà di quantificare le variazioni e così di maggiorare o di minorare numerose espressioni. Tra le protagoniste del campo, troviamo la disuguaglianza aritmetico-geometrica, ben nota agli studenti delle scuole superiori, e quella di Cauchy‒Schwarz, più avanzata ma di una potenza formidabile.

L'autoritferimento è alla base di paradossi ben noti, ma anche di una profonda crisi nei fondamenti della logica e della matematica. Al cuore del famoso teorema di incompletezza di Gödel, si può trovare una variante della frase « Questa proposizione è falsa ». Al di là di spinosi problemi filosofici, l'autoritferimento permette di giocare con l'infinito, sia nell'arte che nella matematica. Così, alcune successioni di numeri possiedono simmetrie che non avremmo mai potuto immaginare senza aver riflettuto sulla ricca nozione di autosimilarità, che permette di scoprire, per nostro massimo piacere, successioni « autodescrittive » e persino « frattali ». I lettori scopriranno la continuazione di questo ambizioso dossier in due parti nel prossimo numero (Tangente 192).

Laplace è il perfetto esempio per confutare l'idea secondo cui gli scienziati, inaccessibili e rinchiusi nella loro torre d'avorio, sono confortevolmente isolati dal mondo che li circonda. Sebbene sia rimasto fuori dai disordini rivoluzionari, si è tuttavia impegnato in politica. Senatore e cancelliere, firma ad esempio la caduta di Napoleone. Inoltre, la sua posizione all'Académie des sciences e il suo impegno gli permettono di essere al centro dello sviluppo delle Grandes Écoles in Francia. Questo aspetto della sua vita rimane ancora poco studiato dagli storici.

Se è davvero a Georg Cantor che dobbiamo, alla fine del xix° secolo, di aver definitivamente fatto dell'infinito un ramo della matematica piuttosto che della teologia o della filosofia, il « paradiso » così offerto fu l'approdo di due millenni di esitazioni, di andirivieni e di controversie sullo sfondo di paradossi. Zenone aveva presentato le contraddizioni in agguato. Aristotele aveva posto in essere un compromesso ragionevole. Le riflessioni si affinavano sull'infinitamente piccolo fino a dare vita al calcolo differenziale… Oggi, l'infinito ha tanto trionfato che è ormai a partire da esso che si definisce il finito, in un straordinario rovesciamento che dobbiamo a Bolzano e a Dedekind.

In rottura con la ricerca di regolarità nei fenomeni scientifici, l'interesse per le funzioni discontinue è apparso improvvisamente all'inizio del XIX secolo con lo studio delle serie di Fourier. Una maggiore rigore si è allora imposta per definire i concetti di funzione, continuità, derivabilità. Riemann, Lebesgue, Darboux e altri hanno proposto esempi di funzioni mostruose per giustificare l'interesse delle teorie che avevano elaborato, aprendo il campo a nuovi approcci della fisica e persino dell'economia.