Saperi
Articoli di approfondimento sulle conoscenze e teorie matematiche
Il mondo delle funzioni
Molti problemi si affrontano in uno spazio di funzioni, in particolare quelli che riguardano l’approssimazione.
Spazi per il matematico
La nozione astratta di spazio in matematica corrisponde a una concezione ben diversa da quella suggerita dalla nostra intuizione. A seconda del tipo di struttura disponibile, si possono manipolare concetti provenienti dall’algebra, dall’analisi o dalla geometria.
Le curiosità dell’antiparallelismo
Nella geometria elementare, la nozione di proporzionalità coinvolge spesso rette parallele, in riferimento al teorema di Talete. Esistono anche rette antiparallele. Ci sarebbe allora un’«antiproporzionalità»?
I figli di Talete
Nella geometria elementare, molte dimostrazioni fanno ricorso alla proporzionalità. Quasi tutti i teoremi leggendari della disciplina riguardano la proporzionalità: Talete, Tolomeo, Menelao, Ceva, Pappo… Un breve viaggio tra questi grandi problemi.
Poligoni con lati e diagonali interi
La scoperta che una figura tanto semplice quanto il quadrato non possa avere contemporaneamente lati e diagonali di lunghezza intera turbò molti grandi sapienti dell’Antichità. È comunque possibile trovare poligoni che soddisfino questa proprietà? Questa domanda apparentemente innocua apre ancora oggi nuovi campi di ricerca.
Riscoprire la proporzionalità
Quando si pensa alla proporzionalità, spesso si pensa alla regola del tre, cioè a una tecnica di calcolo. Eppure, questa nozione apparve anzitutto in geometria, con lo studio delle figure simili, alla base di numerosi teoremi, e fece emergere l’idea di grandezze incommensurabili.
Origini dei gruppi: Cauchy e Galois | Tangente
Conosciamo bene Cauchy come specialista dell’analisi, molto meno come algebrista. Il contributo di Cauchy alla teoria dei gruppi rimase a lungo misconosciuto, sebbene i suoi lavori sulle strutture algebriche abbiano avuto grande importanza.
Gonfiare i poliedri
Nei suoi primi lavori, Cauchy rivitalizzò lo studio dei poliedri. A partire dai suoi risultati sulla rigidità dei poliedri convessi, i matematici cercano di saperne di più su casi più generali. Con in palio una nuova nozione, quella di flexaedro, e una proprietà affascinante: il teorema del mantice.
Una distribuzione diversa dalle altre
Le distribuzioni di probabilità più comuni talvolta si rivelano molto lontane dalle osservazioni. Quando i casi estremi si verificano troppo spesso, la distribuzione di Cauchy rivela tutta la sua utilità.
Teorema di rigidità: Cauchy e i poliedri | Tangente
I primi risultati di Cauchy riguardano i poliedri, tra cui l’indispensabile teorema di rigidità.
Sostituire per contare
A soli 25 anni, Cauchy perfezionò una memoria sulle funzioni simmetriche, pubblicata infine in due articoli. Vi introdusse nuovi concetti, notazioni e metodi, creando il calcolo delle sostituzioni, che avrebbe svolto un ruolo centrale nello sviluppo della teoria dei gruppi.
Un uomo di controversie: Cauchy e i suoi rivali | Tangente
Le dispute sulla paternità dei teoremi riflettono le accese controversie che opposero Cauchy ad alcuni matematici della sua epoca.
Coerenza nelle idee
Definire che cosa sia una successione convergente ha richiesto molto tempo ai matematici, per evitare le numerose insidie logiche. I lavori di Cauchy sono tra i più importanti che hanno infine permesso di fare chiarezza.
Prime scoperte: Cauchy e i poliedri | Tangente
Benché Cauchy sia spesso considerato uno studioso di grande astrazione, il primo atto della sua opera è invece assai visivo. Il suo lavoro sui poliedri regolari segna il suo ingresso nel mondo della ricerca matematica.
Un tappo sul fiume | Tangente
Lasciate andare alla deriva un tappo sulla superficie di un corso d’acqua. Quando la traiettoria che segue è troppo difficile da calcolare, bisogna accontentarsi di metodi di approssimazione. A volte, però, il modo in cui l’acqua scorre rende problematica l’affidabilità di tali metodi.
Curve di Bézier nella modellazione | Tangente
Particolarmente usate nella progettazione assistita dal computer, le curve di Bézier hanno la particolarità di poter essere generate facilmente a partire da un piccolo numero di punti che le definiscono completamente.
Approssimare funzioni: non è così semplice...
Quando si vuole avvicinare un oggetto, si cerca di ridurre la distanza che ci separa da esso. Lo stesso vale quando si vuole «approssimare» una funzione. Ma la questione si complica, perché esistono diverse nozioni di distanza.
La teoria dell’approssimazione
Quando non si riesce a determinare direttamente modelli o forme, li si approssima con funzioni o curve più semplici da trattare, che ne conservano le proprietà principali. Di questo si occupa la teoria dell’approssimazione.
Geometria dei tessuti andini | Tangente
Nelle Ande, le tessitrici di epoche talvolta molto remote realizzano motivi assai vari e al tempo stesso chiaramente affini. Una parte del linguaggio comune a questi tessuti può essere compresa grazie alla matematica.
Combinatoria delle parole e musica | Tangente
La combinatoria delle parole è un settore della matematica particolarmente fecondo per studiare alcuni fenomeni musicali, soprattutto gli aspetti ritmici delle musiche africane e malgasce. Tanto che un computer può persino riuscire a ricrearli!