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La competenza matematica è al cuore della richiesta di numerosi settori industriali. La quantità di matematica utilizzata da alcuni settori, come l'aeronautica o la 5G, è impressionante. Nel trattamento delle immagini, consentono di gestire la compressione, la trasmissione, la riduzione del rumore o il restauro di file digitali. Interi settori della matematica si creano per rispondere a queste esigenze. È il caso della geometria dell'informazione, nata dalla volontà di geometrizzare gli spazi di distribuzioni di probabilità. L'HPC (calcolo ad alte prestazioni), che consiste nell'utilizzare molteplici unità per realizzare calcoli molto intensivi, è in pieno sviluppo, in particolare grazie al gruppo Total, che ne è stato un pioniere.

Grafici e probabilità non sono gli unici settori della matematica a cui i giochi da tavolo fanno ricorso. La geometria, e persino la topologia, intervengono spesso quando si tratta di collocare pezzi di forme diverse su un tabellone. La combinatoria è ovviamente anche la chiave di numerosi giochi. Ma non bisogna dimenticare la teoria dei numeri, che spesso permette di immaginare modelli di relazione tra alcune situazioni di gioco e numeri che loro sono associati.

Fin dall'origine, l'uomo ha avuto bisogno di prevedere, e quindi di misurare. Come valutare la distanza tra due edifici, due città, due montagne, due pianeti? I GPS integrati nei nostri telefoni e nelle nostre auto ci farebbero quasi dimenticare che c'è stato un tempo (non così lontano) in cui stimare una distanza era una questione di prodezza scientifica! Tutto è iniziato con il rilevamento in un ambiente vicino, poi ci si è interessati a distanze inaccessibili direttamente, permettendo di orientarsi sulla terra, in mare o nello spazio. Nuove tecniche, spesso basate su matematica ingegnosa come la triangolazione, sono state ideate, così come tutta una serie di sfide: trovare i percorsi più brevi, determinare curve di equidistanza, posizionare i punti nel modo più regolare possibile su una sfera…

Pur vietandoci gli strumenti tradizionali della scrittura, il calcolo mentale può arricchirsi di oggetti che permettono di fissare lo svolgimento di un'operazione. Per esempio, piuttosto che contemplare un numero a partire dalla sua scrittura decimale, alcuni calcolatori lo visualizzano immaginandolo scritto su un abaco. Maneggiando interiormente le palline del soroban invece delle cifre abituali, oppure utilizzando intelligentemente il supporto delle dita, nuovi orizzonti si aprono per sviluppare le nostre capacità di calcolo in nuove direzioni.

Le questioni legate allo sfruttamento, alla gestione e alla ridistribuzione delle risorse sono tra le più importanti che siano state poste alle società. Queste risorse generano inoltre inquinamento, di cui è importante comprendere gli effetti sulla salute. Che si tratti della gestione dell'acqua o della produzione di energia, è diventato imperativo mobilitare tutte le competenze per ottimizzarne l'accesso al maggior numero di persone. La matematica è in prima linea proponendo metodologie e modelli, che saranno alla base delle misurazioni, delle interpretazioni e delle conclusioni degli scienziati.

Onnipresenti nei domini più disparati della nostra vita quotidiana, le misure ci sembrano naturali. Etaloni, bilance, calibri... sono gli strumenti che vengono in mente per stabilirle. Situate a metà strada tra la teoria e l'esperienza, si basano spesso su modelli fisici che si rivelano indispensabili, in particolare quando le grandezze, come il raggio della Terra, sono inaccessibili alla misurazione diretta. Inversamente, le misure possono confortare o invalidare un modello teorico, come l'esistenza dell'etere. Infine, come attribuire un valore a nozioni qualitative come l'intelligenza, la felicità o anche la virtù?

Le successioni infinite di numeri hanno da sempre affascinato i matematici, che hanno messo a punto in modo consensuale la nozione di convergenza e di limite. Ma tutto è cambiato quando ci si è interessati alle somme successive di queste successioni, alle quali è stato dato il nome di serie. Le serie convergenti (le « gentili »), studiate da tutti coloro che si destinano a una carriera scientifica, non pongono problemi. Esse permettono di definire la somma di un'infinità di termini, a condizione che le « somme parziali » convergano verso un limite. Ma le altre, ufficialmente « divergenti » (le « cattive »), sono state all'origine di approcci molto diversi, a volte sorprendenti, creando veri e propri conflitti filosofici tra scienziati celebri. Euler, Abel e alcuni pionieri si sono arrischiati a immaginare di definirne delle somme, trovando alcune meraviglie… che oggi sono oggetto di una magnifica teoria!

La capacità di eseguire a mente, in un istante, un calcolo complesso è spesso associata all'idea di «dono per i numeri». È vero che alcuni calcolatori prodigio sembrano dotati di questa qualità senza aver ricevuto alcuna formazione particolare. Tuttavia, non bisogna farsi ingannare: a parte alcuni casi tanto rari quanto affascinanti, l'attitudine al calcolo mentale si sviluppa soprattutto grazie alla pratica. Questa produce risultati tanto migliori quanto più si basa su una buona conoscenza delle proprietà sottostanti dei numeri, in generale fondate su una combinazione di algebra e aritmetica.

Come riuscire a fare il giro dell'opera di uno dei matematici più prolifici della Storia? Uno dei grandi meriti di Cauchy consiste nell'aver introdotto l'analisi nella sua visione moderna, chiarendo un intero settore della matematica che aveva conosciuto una grande espansione grazie, tra l'altro, a Eulero, Lagrange e Laplace. Ma Cauchy rivitalizzò anche settori venerandi come la teoria dei poliedri, e ne creò di nuovi come l'analisi complessa. Fu anche uno dei primi a esplorare ciò che oggi chiamiamo teoria dei gruppi. Accanto al Cauchy consolidatore viveva dunque anche un Cauchy esploratore, ed è a questi due aspetti della sua personalità scientifica che siamo parimenti debitori oggi.

I poligoni escono ampiamente dal quadro stretto della geometria, con applicazioni pratiche o ludiche. Li troviamo, ad esempio, in architettura, nei piani di edifici, o in aritmetica sotto forma di numeri detti poligonali. Sono naturalmente le tessere di numerosi puzzle, di cui il più antico tra essi, lo Stomachion d'Archimede. Tocca a Bolyai, il nonno della geometria non euclidea, di aver provato che due poligoni della stessa area possono avere gli stessi pezzi costitutivi. Da allora, Dudeney e i Demaine, padre e figlio, hanno aperto un vasto campo di creazioni – e ricreazioni – matematiche con i poligoni articolati.